0150-2023 関西工 机械 P237

振动学 机械振动 单自由度系统

図１に鉛直方向に振動する１自由度振動系のモデルを示す．ここで，質点の質量を$m$，ダッシュポットの減衰係数を$c$，ばねのばね定数を$k$，重力加速度を$g$，質点のつり合いの位置からの変位を$x_1$，基礎の強制変位を$x_0$，時刻を$t$とする．なお，図１に示すように，変位$x_1$と強制変位$x_0$は上向きを正の向きとする．以下の設問に答えよ．
(1) 運動方程式を求めよ．
(2) この１自由度振動系の非減衰固有角振動数${\omega }_n$と減衰比$\zeta$を$m$，$c$，$k$を用いて表せ．
(3) 強制変位$x_0$の振幅を$X_0$，変位$x_1$の振幅を$X_1$として，変位伝達率$X_1/X_0$を求めよ．ただし，加振角振動数は$\omega$とすること．
(4) 変位伝達率$X_1/X_0$を加振振動数比$\gamma (=\omega /{\omega }_n)$と減衰比$\zeta$を用いて表せ．
(5) 変位伝達率$X_1/X_0$が1未満になる加振振動数比$\gamma$の範囲を求めよ．

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解答：

(1)
質点の静的つり合いの位置からの変位を変数としているため重力の影響は相殺される。ニュートンの運動方程式より、

$$m{\ddot{x}}_1=-c({\dot{x}}_1-{\dot{x}}_0)-k(x_1-x_0)$$

整理して、

$$\boxed{m{\ddot{x}}_1+c{\dot{x}}_1+k{x}_1=c{\dot{x}}_0+k{x}_0}$$

(2)
運動方程式の両辺を質量$m$で割ると標準形が得られる。

$${\ddot{x}}_1+\frac{c}{m}{\dot{x}}_1+\frac{k}{m}{x}_1=\frac{c}{m}{\dot{x}}_0+\frac{k}{m}{x}_0$$

係数の比較により、

$${\omega }_n^2=\frac{k}{m}$$ $$2\zeta {\omega }_n=\frac{c}{m}$$

よって、

$$\boxed{{\omega }_n=\sqrt{\frac{k}{m}}}$$ $$\boxed{\zeta =\frac{c}{2\sqrt{mk}}}$$

(3)
調和振動を仮定し、$x_0=X_0{e}^{i\omega t}$、$x_1=X_1{e}^{i(\omega t-\varphi )}$とする。これを運動方程式に代入して複素振幅の絶対値をとる。

$$(-m{\omega }^2+ic\omega +k)X_1=(ic\omega +k)X_0$$

振幅の比を求めると、

$$\frac{X_1}{X_0}=\frac{|k+ic\omega |}{|(k-m{\omega }^2)+ic\omega |}$$ $$\boxed{\frac{X_1}{X_0}=\sqrt{\frac{k^2+(c\omega {)}^2}{(k-m{\omega }^2{)}^2+(c\omega {)}^2}}}$$

(4)
(3)で求めた式の根号内の分母分子を$k^2$で割る。

$$\frac{X_1}{X_0}=\sqrt{\frac{1+{\left(\frac{c\omega }{k}\right)}^2}{{\left(1-\frac{m{\omega }^2}{k}\right)}^2+{\left(\frac{c\omega }{k}\right)}^2}}$$

ここで、$\frac{m{\omega }^2}{k}={\left(\frac{\omega }{{\omega }_n}\right)}^2={\gamma }^2$ であり、$\frac{c\omega }{k}=\frac{c}{m{\omega }_n^2}\omega =2\zeta \frac{\omega }{{\omega }_n}=2\zeta \gamma$ であるから、これらを代入して、

$$\boxed{\frac{X_1}{X_0}=\sqrt{\frac{1+(2\zeta \gamma {)}^2}{(1-{\gamma }^2{)}^2+(2\zeta \gamma {)}^2}}}$$

(5)
変位伝達率が1未満であるから、

$$\sqrt{\frac{1+(2\zeta \gamma {)}^2}{(1-{\gamma }^2{)}^2+(2\zeta \gamma {)}^2}}<1$$

両辺を2乗して分母を払うと、

$$1+(2\zeta \gamma {)}^2<(1-{\gamma }^2{)}^2+(2\zeta \gamma {)}^2$$ $$1<(1-{\gamma }^2{)}^2$$

加振振動数比は正（$\gamma >0$）であるから、$1-{\gamma }^2<-1$ の場合のみ成立する。

$${\gamma }^2>2$$ $$\boxed{\gamma >\sqrt{2}}$$

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这道题目考察的是机械振动中非常经典的基础位移激励问题。在建立系统的运动微分方程时，由于位移坐标是以静力平衡位置为原点建立的，弹簧的初始静变形产生的弹力刚好与重力相抵消，因此在列写受力平衡方程时可以直接忽略重力项。对于基础受激发的系统，质量块受到的弹簧力和阻尼力都取决于质量块与基础之间的相对位移和相对速度。在求变位传达率也就是位移幅值比时，引入复数指数形式可以大大简化运算，等式两边各自取模长即可直接得到振幅的关系。最后的分析表明，只有当外加激励的频率大于系统固有频率的根号二倍时，基础的振动才能被减弱，这也是隔振设计的核心理论依据。