0149-2023 関西工 机械 P236

材料力学 热应力

図のように，材料 1 の円筒（線膨張係数${\alpha }_1$，ヤング率$E_1$，断面積$A_1$，初期長さ$L$）の中に，材料 2 の円柱（線膨張係数${\alpha }_2$，ヤング率$E_2$，断面積$A_2$，初期長さ$L$）をそれぞれの中心軸が合うように挿入した．両材料は接触しないものとする．以下の各問いに答えよ．
(1) 材料 1 と材料 2 がともに初期長さ $L$ となるように両端で拘束する（図の破線部分を固定する）．温度変化を $\Delta T$ とするとき，各材料に生じる熱応力を求めよ．
(2) 材料 1 と材料 2 が常に同じ長さを保って伸縮するように両端を拘束する（図の破線部分の固定を可動にする）．温度変化を $\Delta T$ とするとき，材料の長さと各材料に生じる熱応力を求めよ．また，${\alpha }_1>{\alpha }_2$ の条件で冷却する場合（$\Delta T<0$），圧縮となる材料はどちらか述べよ．

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解答：

(1)
各材料の自由熱膨張に伴うひずみは ${\epsilon }_{ti}={\alpha }_i\Delta T(i=1,2)$ である．
両端が完全に固定されているため，全ひずみは $0$ となる．したがって，拘束により生じる弾性ひずみは ${\epsilon }_{mi}=-{\alpha }_i\Delta T$ である．
フックの法則より，各材料に生じる熱応力 ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ は，

$${\sigma }_1=\boxed{-E_1{\alpha }_1\Delta T}$$ $${\sigma }_2=\boxed{-E_2{\alpha }_2\Delta T}$$

(2)
温度変化後の長さを $L^{\prime }$，長さの変化量を $\lambda =L^{\prime }-L$ とする．
外力が作用していないため，力のつり合い条件より：

$${\sigma }_1{A}_1+{\sigma }_2{A}_2=0$$

両端の可動板により，両材料の全ひずみ $\epsilon =\frac{\lambda }{L}$ は等しい．変形の適合条件より：

$$\begin{array}{rl}\epsilon & ={\alpha }_1\Delta T+\frac{{\sigma }_1}{E_1}\\ & ={\alpha }_2\Delta T+\frac{{\sigma }_2}{E_2}\end{array}$$

つり合い式より ${\sigma }_2=-{\sigma }_1\frac{A_1}{A_2}$ とし，適合条件式に代入する：

$${\alpha }_1\Delta T+\frac{{\sigma }_1}{E_1}={\alpha }_2\Delta T-\frac{{\sigma }_1{A}_1}{E_2{A}_2}$$ $${\sigma }_1\left(\frac{E_1{A}_1+E_2{A}_2}{E_1{E}_2{A}_2}\right)=({\alpha }_2-{\alpha }_1)\Delta T$$

これを解いて，熱応力 ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ は，

$${\sigma }_1=\boxed{\frac{E_1{E}_2{A}_2({\alpha }_2-{\alpha }_1)\Delta T}{E_1{A}_1+E_2{A}_2}}$$ $${\sigma }_2=\boxed{\frac{E_1{E}_2{A}_1({\alpha }_1-{\alpha }_2)\Delta T}{E_1{A}_1+E_2{A}_2}}$$

また，材料の長さ $L^{\prime }$ は，

$$\begin{array}{rl}{L}^{\prime }& =L(1+\epsilon )\\ & =L\left(1+{\alpha }_1\Delta T+\frac{{\sigma }_1}{E_1}\right)\end{array}$$ $$L^{\prime }=\boxed{L\left(1+\frac{{\alpha }_1{E}_1{A}_1+{\alpha }_2{E}_2{A}_2}{E_1{A}_1+E_2{A}_2}\Delta T\right)}$$

${\alpha }_1>{\alpha }_2$ かつ $\Delta T<0$ の場合，

$${\alpha }_1-{\alpha }_2>0$$ $${\sigma }_2=\frac{E_1{E}_2{A}_1({\alpha }_1-{\alpha }_2)\Delta T}{E_1{A}_1+E_2{A}_2}<0$$

応力が負であるため，圧縮となる材料は，

$$\boxed{\text{材料 2}}$$

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这道题考察的是材料力学中典型的超静定热应力问题。

第一问是完全约束状态，两端固定意味着材料无法发生任何宏观位移。温度变化产生的自由膨胀变形会被端部的约束力完全抵消，相当于施加了一个反向的弹性应变。直接利用胡克定律，将自由膨胀应变取负号后乘以各自的杨氏模量即可得到热应力。这里拉应力取正号，如果温度升高，结果为负说明受压。在这种完全固定的状态下，两种材料受力相互独立。

第二问是部分约束状态，两端被刚性板夹紧但可以自由整体移动，使得两种材料变形始终保持一致。解题的关键在于建立两个方程：首先是静力平衡方程，由于系统整体没有受到外力，两种材料截面上的内力之和必须为零；其次是变形协调方程，两种材料的实际应变必须相等，而实际应变等于温度引起的自由膨胀应变与内部应力引起的弹性应变之和。联立这两个方程即可解出各自的应力，进而将其代入应变公式求出总变形量和最终长度。在冷却收缩时，由于材料1的线膨胀系数更大，它本能地想要收缩得更多，但受到材料2的牵制无法完全收缩，因此材料1受拉；相对地，材料2想要收缩得少，却被材料1强行拉着多收缩了一部分，因此材料2最终处于受压状态。