0148-2023 関西工 机械 P236

材料力学 はり

図のような長さ $2L$ の長方形断面（高さ $h$，幅 $2h$）のはりを A点（$x=0$）と B点（$x=L$）で単純支持する．そして，C点（$x=2L$）に長さ $2a$ の剛体を図のように垂直にとりつけ，その両端にそれぞれ図の方向に大きさ $P/2$ の荷重を加える．以下の各問いに答えよ．
(1) C点における荷重によるモーメントを求めよ（反時計回りを正とする）．
(2) はり全体（AC間）のせん断力図（SFD）と曲げモーメント図（BMD）を示せ．
(3) はり全体（AC間）に発生する最大曲げ応力の大きさを求めよ．
(4) 安全率 $f$，基準応力 $S$ のとき，このはりに必要な高さ $h$ を求めよ．
(5) AB間における最大たわみとその生じる位置（$x$座標）を求めよ．ただし，はりの曲げ剛性を $EI$ とせよ．

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解答：

(1)
剛体の両端に加わる力は偶力を形成し，はりの中心軸に対して反時計回りのモーメントを生じさせる．
反時計回りを正とするため，

$$\begin{array}{rl}{M}_C& =\frac{P}{2}\cdot a+\frac{P}{2}\cdot a\\ & =\boxed{Pa}\end{array}$$

(2)
支点A，Bに上向きの反力 $R_A,R_B$ が働くと仮定する．
力のつり合い： $R_A+R_B=0$
A点周りのモーメントのつり合い： $R_B\cdot L+M_C=0⟹R_B\cdot L+Pa=0⟹R_B=-\frac{Pa}{L}$
よって，$R_A=\frac{Pa}{L}$
任意の断面位置 $x$ におけるせん断力 $F(x)$ と曲げモーメント $M(x)$ は以下のようになる．
AB間 ($0\le x<L$)：

$$F(x)=R_A=\frac{Pa}{L}$$ $$M(x)=R_{A}x=\frac{Pa}{L}x$$

BC間 ($L<x\le 2L$)：

$$F(x)=R_A+R_B=0$$ $$\begin{array}{rl}M(x)& =R_{A}x+R_B(x-L)\\ & =\frac{Pa}{L}x-\frac{Pa}{L}(x-L)\\ & =Pa\end{array}$$

これに基づき図示すると以下のようになる：
SFD：$x=0$ から $x=L$ まで値が $Pa/L$ の水平な直線，$x=L$ から $x=2L$ までは $0$ となる階段状の図．
BMD：$x=0$ の $0$ から $x=L$ の $Pa$ まで直線的に増加し（傾き正），$x=L$ から $x=2L$ までは $Pa$ の水平な直線となる図．

(3)
はりの断面二次モーメント $I$ と断面係数 $Z$ を求める．

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{1}{12}\cdot (2h)\cdot h^3\\ & =\frac{h^4}{6}\end{array}$$ $$Z=\frac{I}{h/2}=\frac{h^3}{3}$$

最大曲げモーメントは BC間に生じ，その大きさは $|M_{max}|=Pa$ である．
最大曲げ応力 ${\sigma }_{max}$ は，

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_{max}& =\frac{|M_{max}|}{Z}\\ & =\frac{Pa}{h^3/3}\\ & =\boxed{\frac{3Pa}{h^3}}\end{array}$$

(4)
許容応力を ${\sigma }_a$ とすると，${\sigma }_a=\frac{S}{f}$ である．
はりの安全条件は ${\sigma }_{max}\le {\sigma }_a$ であるから，

$$\begin{array}{rlr}\frac{3Pa}{h^3}& \le \frac{S}{f}& \\ ⟹h^3& \ge \frac{3Paf}{S}& \end{array}$$

したがって，必要な最小の高さ $h$ は，

$$h=\boxed{\sqrt[3]{\frac{3Paf}{S}}}$$

(5)
上向きのたわみを $v(x)$ とすると，AB間の曲げの微分方程式は，

$$EI\frac{d^{2}v}{d{x}^2}=M(x)=\frac{Pa}{L}x$$

積分して，

$$EI\frac{dv}{dx}=\frac{Pa}{2L}{x}^2+C_1$$ $$EIv(x)=\frac{Pa}{6L}{x}^3+C_{1}x+C_2$$

境界条件 $v(0)=0$ より $C_2=0$．
境界条件 $v(L)=0$ より $\frac{Pa{L}^2}{6}+C_{1}L=0⟹C_1=-\frac{PaL}{6}$．
よって，たわみの式は

$$v(x)=\frac{Pa}{6EIL}(x^3-L^{2}x)$$

最大たわみとなる位置は $\frac{dv}{dx}=0$ のときであるから，

$$\begin{array}{rlrlr}\frac{Pa}{2L}{x}^2-\frac{PaL}{6}& =0& & & \\ ⟹x^2& =\frac{L^2}{3}& & & \\ ⟹\boxed{x=\frac{\sqrt{3}}{3}L}& & & & \end{array}$$

この位置でのたわみの絶対値を最大たわみ ${\delta }_{max}$ とする．

$$\begin{array}{rl}{\delta }_{max}& =\left|v\left(\frac{L}{\sqrt{3}}\right)\right|\\ & =\left|\frac{Pa}{6EIL}\left(\frac{L^3}{3\sqrt{3}}-\frac{L^3}{\sqrt{3}}\right)\right|\\ & =\left|\frac{Pa{L}^2}{6EI}\left(-\frac{2}{3\sqrt{3}}\right)\right|\\ & =\boxed{\frac{\sqrt{3}Pa{L}^2}{27EI}}\end{array}$$

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这是一道经典的材料力学中关于梁的弯曲变形与应力的综合题。

(1) 的关键在于正确判断末端力偶的方向。上方力向左，下方力向右，以梁的中轴线为支点，这两个力产生的都是逆时针方向的力矩。题目中明确规定逆时针为正，所以直接相加即可。

(2) 要求想象并描述剪力图和弯矩图。由于外力仅在C点有一个集中力偶，没有分布载荷或其他垂直集中力，因此通过力矩平衡求出A、B两点的支座反力后，很容易发现BC段没有剪力，而其弯矩由于末端力偶的存在保持为恒定值。

(3) 和 (4) 考察的是弯曲应力公式 $\sigma =M/Z$ 的运用。需要仔细阅读题目给定的截面尺寸（宽 $2h$，高 $h$），不要与常见的宽 $b$ 高 $h$ 混淆，正确计算出截面抗弯模量 $Z$ 后，将最大弯矩代入即可求得最大应力。第四问结合了安全系数的概念，将最大应力与许用应力进行比较，通过代数变形求出截面高度的要求。

(5) 要求利用挠度曲线微分方程求解最大挠度。列出方程并积分两次后，利用A点和B点挠度为0的边界条件解出积分常数，得到挠度方程。随后通过对挠度方程求导找极值点，代回原方程求出最大挠度的绝对值。注意这里解出的挠度函数在 $(0,L)$ 区间内值为负，表示梁在这一段实际上是向下弯曲的（与C点被力偶向上翘起相对应）。