風車はプロペラに風を当てることで，風の持つ運動量を動力に変換して取り出すため，この流れを1次元的に扱うことで風車の駆動力や得られる動力などを求めたい．密度(=一定)，圧力，流速の定常な一様流中に置かれた風車を含む検査体積abcdとその内部の流れの様子を右図に示す．風車を通過する風の流速を，風車下流側の後流の流速をとして，以下の問いに答えよ．
(1) 風車前面の圧力が，背面の圧力がの場合，図中の①「検査体積入口と風車前面」の区間と，②「風車背面と検査体積出口」の区間に対するベルヌーイの定理をを使って示せ．
(2) (1)より，風車通過時の流管断面積がとして，風車を駆動する力をを使って示せ．
(3) ab面の断面積が，風車を通過する流管のab面上の断面積が，同じくcd面上の断面積がのとき，検査体積のad面およびbc面から流出する質量流量を求めよ．
(4) 風車の駆動力として，検査体積abcd内の流体に対する運動量定理を示せ．
(5) (2)(4)より，との関係を示せ．
(6) 以上より，風車が流体にした仕事率（有効動力）をを使って表せ．
(7) この風車の効率を，を使って表せ．
解答：
(1)
区間①に対するベルヌーイの定理：
区間②に対するベルヌーイの定理：
(2)
(1)の2式よりを求め、差をとる：
風車を駆動する力は前後の圧力差によるため：
(3)
流入質量流量と流出質量流量の釣り合いより：
(4)
検査体積内の流体が受ける力はであり、運動量定理「力＝流出運動量－流入運動量」より：
(5)
流管の連続の式より であるため、(4)の結果は と書ける。これを(2)と等置する：
(6)
仕事率は力と風車通過時の流速の積である：
(5)の結果を代入する：
(7)
風車の効率は、得られる仕事率を、面積を通過する風の持つ全運動エネルギー時間変化率 で割ったものである：
本题推导了风力发电机理中经典的贝茨定律。推导的核心在于将流动模型一维化，并合理应用伯努利方程、质量守恒与动量定理。由于风轮会提取能量，流体经过风轮时压力发生突降，但不能在穿过风轮的整个流管上直接使用伯努利方程，因此需要分风轮前和风轮后两段分别应用。由风轮前后的压差可以求得风轮受到的轴向推力。接着建立一个较大的控制体积，通过动量定理再次计算推力，计算动量时一定要注意侧面边界流出流体所带走的动量。将两种推力表达式结合，即可得到风轮处的速度降是远方尾流速度降的一半这一重要结论。最后结合推力与风轮处的流速可得功率，将其与上游风能的理想功率相除即为风机效率。对效率求极值便可得到理论上风力机能达到的最大转换效率，也就是贝茨极限。