0146-2023 関西工 机械 P235

流体力学 圆管层流

直径 $D$ の円管内を流れる十分に発達した定常層流であるハーゲン・ポアズイユ流れの流速分布は，管中心の流速を $u_0$，管中心からの距離を $r$ として，

$$u(r)=u_0\left(1-\frac{4r^2}{D^2}\right)$$

となる．流れる流体の密度を $\rho$，粘度を $\mu$ として，以下の問いに答えよ．なお解答には，問題で与えた記号を使え．（円周率 $\pi$ など広く周知された定数を表す記号は使用可とする．）
(1) 管を流れる体積流量 $Q$ を求め，$u_0$ と断面平均流速の関係を示せ．
(2) この流れのレイノルズ数 $Re$ を示せ．
(3) ニュートンの粘性法則を使い，管内のせん断応力 $\tau (r)$ を求め，その分布を図示せよ．
(4) 管軸方向に長さ $L$ の区間を設定した時，その区間で生じる摩擦圧力損失 $\Delta p$ と壁面せん断応力 ${\tau }_w=\tau (r=D/2)$ の関係を示せ．
(5) 長さ $L$ の区間で生じる圧力損失 $\Delta p$ と体積流量 $Q$ の関係を示せ．
(6) この流れの管摩擦係数 $\lambda$ を求めよ．
(7) この流れの管摩擦係数 $\lambda$ の特徴を簡単に説明せよ．

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解答：

(1)
管の断面積の微小要素 $2\pi rdr$ を通る流量を積分する：

$$Q={\int }_0^{D/2}u(r)\cdot 2\pi rdr$$ $$Q={\int }_0^{D/2}{u}_0\left(1-\frac{4r^2}{D^2}\right)2\pi rdr$$ $$\begin{array}{rl}Q& =2\pi u_0{\left[\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{D^2}\right]}_0^{D/2}\\ & =2\pi u_0\left(\frac{D^2}{8}-\frac{D^4/16}{D^2}\right)\end{array}$$ $$\boxed{Q=\frac{\pi D^2{u}_0}{8}}$$

断面平均流速を $\bar{u}$ とすると、$\bar{u}=\frac{Q}{\pi D^2/4}$ より、

$$\boxed{u_0=2\bar{u}}$$

(2)
レイノルズ数 $Re$ は代表長さを $D$、代表流速を平均流速 $\bar{u}=u_0/2$ として定義される：

$$Re=\frac{\rho \bar{u}D}{\mu }$$ $$\boxed{Re=\frac{\rho u_{0}D}{2\mu }}$$

(3)
ニュートンの粘性法則 $\tau =-\mu \frac{du}{dr}$ を用いる（中心から外側に向かって流速が減少するため負号をつける）：

$$\frac{du}{dr}=u_0\left(-\frac{8r}{D^2}\right)$$ $$\boxed{\tau (r)=\frac{8\mu u_0}{D^2}r}$$

分布の図示：横軸に管中心からの距離 $r$、縦軸にせん断応力 $\tau$ をとると、原点 $(0,0)$ を通り、$r=D/2$ で最大値 $\frac{4\mu u_0}{D}$ となる右上がりの直線となる。

(4)
直径 $D$、長さ $L$ の円柱状流体微小要素に対する力の釣り合いを考える。圧力差による推力と壁面せん断応力による摩擦力が釣り合う：

$$\Delta p\cdot \frac{\pi D^2}{4}={\tau }_w\cdot \pi DL$$ $$\boxed{\Delta p=\frac{4L}{D}{\tau }_w}$$

(5)
(3)より、壁面せん断応力 ${\tau }_w$ は $r=D/2$ のとき：

$${\tau }_w=\tau (D/2)=\frac{4\mu u_0}{D}$$

(1)より $u_0=\frac{8Q}{\pi D^2}$ であるから、これを代入する：

$${\tau }_w=\frac{32\mu Q}{\pi D^3}$$

これを(4)の結果に代入する：

$$\Delta p=\frac{4L}{D}\left(\frac{32\mu Q}{\pi D^3}\right)$$ $$\boxed{\Delta p=\frac{128\mu LQ}{\pi D^4}}$$

(6)
ダルシー・ワイスバッハの式は次のように表される：

$$\begin{array}{rl}\Delta p& =\lambda \frac{L}{D}\frac{\rho {\bar{u}}^2}{2}\\ & =\lambda \frac{L}{D}\frac{\rho u_0^2}{8}\end{array}$$

(4)より $\Delta p=\frac{4L}{D}\frac{4\mu u_0}{D}=\frac{16\mu L{u}_0}{D^2}$ であり、これらを等置する：

$$\lambda \frac{L}{D}\frac{\rho u_0^2}{8}=\frac{16\mu L{u}_0}{D^2}$$ $$\lambda =\frac{128\mu }{\rho u_{0}D}$$

(2)の $Re=\frac{\rho u_{0}D}{2\mu }$ を用いて書き換えると：

$$\boxed{\lambda =\frac{64}{Re}}$$

(7)
層流における管摩擦係数 $\lambda$ はレイノルズ数 Re のみに依存して反比例し、管壁の相対粗さには影響されないという特徴がある。

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这道题目是流体力学中经典的泊肃叶流动推导。题目以已知抛物线型流速分布为起点，首先通过对截面微元环进行积分求得体积流量，从而得到中心最大流速与截面平均流速两倍的关系。计算雷诺数时需要注意习惯上使用的是平均流速而不是中心最大流速。在求剪切力时，由于流速沿径向递减，对其求导会产生负号，结合牛顿内摩擦定律公式自带的负号，正好得到一个沿半径线性增加的正剪切力分布。压力损失与壁面剪切力的关系可以通过取一段流体微元，由流向的压力差与侧面的摩擦阻力相平衡直接导出。将这些结论综合，用流量替换掉最大流速就可以得到著名的哈根-泊肃叶方程。最后根据达西公式逆向推导出管摩擦阻力系数，这个系数在层流状态下具有仅与雷诺数成反比而与管壁粗糙度无关的标志性特征，这主要是因为层流状态下流体质点平行运动，黏性底层完全覆盖了管壁粗糙度带来的影响。