0145-2023 関西工 机械 P234

力学 工程热力学 奥托循环

【問 2】 右図の $p-V$ 線図に示すオットーサイクルを考える．作動流体は理想気体とし，比熱比を $\kappa$ とする．また，ピストンが上死点にあるときのシリンダ内容積を隙間容積 $V_c$，ピストンが下死点から上死点に移動する際に排除する容積を行程容積 $V_h$ とする．各状態の温度を$T_1,T_2,T_3,T_4$ で表し，熱と仕事は系に流入する方向を正とする．以下の問いに答えよ．
(1) オットーサイクルの $T-S$ 線図を，状態変化の特徴が分かるように模式的に図示し，各状態に 1～4 の番号を示せ．なお，各状態の番号は $p-V$ 線図に対応させること．
(2) 圧縮比 $\epsilon$ を $V_c,V_h$ を用いて示せ．
(3) 状態 1 の温度 $T_1$ を $\kappa ,\epsilon ,T_2$ を用いて示せ．
(4) $T_2/T_1=T_3/T_4$ となることを示せ．
(5) 理論熱効率 $\eta$ を温度のみを用いて示せ．
(6) (3), (4), (5)の結果を用いて，理論熱効率 $\eta$ を $\kappa ,\epsilon$ を用いて示せ．

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解答：

(1)
横軸にエントロピー $S$、縦軸に温度 $T$ をとる。
状態1から2：エントロピー一定のまま温度が上昇する鉛直な上向きの直線（断熱圧縮）。
状態2から3：温度とエントロピーがともに上昇する右上がりの曲線（等容加熱）。
状態3から4：エントロピー一定のまま温度が低下する鉛直な下向きの直線（断熱膨張）。
状態4から1：温度とエントロピーがともに低下し状態1に戻る左下がりの曲線（等容放熱）。
これら4つの過程で囲まれる閉曲線を時計回りに描く。

(2)
最大容積 $V_1=V_4=V_c+V_h$
最小容積 $V_2=V_3=V_c$

$$\epsilon =\frac{V_1}{V_2}$$ $$\boxed{\epsilon =\frac{V_c+V_h}{V_c}}$$

(3)
過程1→2は断熱過程であるから、

$$T_1{V}_1^{\kappa -1}=T_2{V}_2^{\kappa -1}$$ $$T_1=T_2{\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}^{\kappa -1}$$ $$\boxed{T_1=\frac{T_2}{{\epsilon }^{\kappa -1}}}$$

(4)
過程1→2（断熱圧縮）より、

$$\begin{array}{rl}\frac{T_2}{T_1}& ={\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\kappa -1}\\ & ={\epsilon }^{\kappa -1}\end{array}$$

過程3→4（断熱膨張）より、

$$\frac{T_3}{T_4}={\left(\frac{V_4}{V_3}\right)}^{\kappa -1}$$

等容過程より $V_1=V_4,V_2=V_3$ であるため、

$$\begin{array}{rl}\frac{T_3}{T_4}& ={\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\kappa -1}\\ & ={\epsilon }^{\kappa -1}\end{array}$$

ゆえに、

$$\frac{T_2}{T_1}=\frac{T_3}{T_4}$$

(証明終)

(5)
定積比熱を $C_v$ とする。
等容加熱（2→3）での吸熱量：$Q_{in}=C_v(T_3-T_2)$
等容放熱（4→1）での放熱量：$Q_{out}=C_v(T_4-T_1)$
正味の仕事 $W=Q_{in}-Q_{out}$ であるため、

$$\begin{array}{rl}\eta & =\frac{W}{Q_{in}}\\ & =1-\frac{Q_{out}}{Q_{in}}\end{array}$$ $$\boxed{\eta =1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}}$$

(6)
(4)の結論 $\frac{T_3}{T_2}=\frac{T_4}{T_1}$ より、

$$\begin{array}{rl}\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}& =\frac{T_1\left(\frac{T_4}{T_1}-1\right)}{T_2\left(\frac{T_3}{T_2}-1\right)}\\ & =\frac{T_1}{T_2}\end{array}$$

これを(5)の結果に代入する。

$$\eta =1-\frac{T_1}{T_2}$$

(3)より $\frac{T_1}{T_2}=\frac{1}{{\epsilon }^{\kappa -1}}$ であるから、

$$\boxed{\eta =1-\frac{1}{{\epsilon }^{\kappa -1}}}$$

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这道题目系统地考察了理想奥托循环（汽油机等火花点火发动机的理想热力学循环）的基础分析。第一问要求将给定的p-V图转化为T-S图，关键在于把握绝热过程在T-S图上是等熵的垂直线，而等容过程则是向右上方或左下方倾斜的曲线。第二问是压缩比的几何定义，即气缸最大容积与最小容积（余隙容积）之比。第三和第四问利用了理想气体绝热过程的状态方程，通过体积比（即压缩比）将不同状态点的温度联系起来，并证明了两个绝热过程两端的温度比是相等的。第五问从热效率的基本定义出发，利用等容过程中热量仅与温度差成正比的特性，写出仅含温度的热效率表达式。最后一问则非常巧妙地结合了前面的推导，通过提取公因式将效率公式中的温度差比值转化为绝热过程的温度比，进而完全用压缩比和比热比表达出理论热效率。这也从理论上证明了提高发动机的压缩比可以有效提升其热效率。