0144-2023 関西工 机械 P234

力学 热力学 卡诺循环

【問 1】 カルノーサイクルによる原動機を考える．この原動機を 30 rpm（1分間あたり30回サイクルを巡る）で動作させたところ，外界にする単位時間当たりの仕事の大きさは 300 W，熱効率は 25%であった．低温熱源の温度 300 K，作動流体は理想気体とし，気体定数 300 J/(kg・K)，質量 0.02 kg とする．熱と仕事は系に流入する方向を正とし，ネイピア数 $e\fallingdotseq 2.7$ とする．以下の問いに答えよ．
(1) カルノーサイクルの $p-V$ 線図および $T-S$ 線図を，状態変化の特徴が分かるように模式的に図示せよ．さらに，吸熱開始時を状態 1 として，サイクルが動作する順に 1〜4 の番号を示せ．$p-V$ 線図と $T-S$ 線図における各状態の番号を対応させること．
(2) 高温熱源の温度を求めよ．
(3) この原動機が外界に対して正味発生する1サイクルあたりの仕事の大きさを求めよ．
(4) この原動機の1サイクルあたりにおける吸熱量を求めよ．
(5) 吸熱過程前後における体積比を求めよ．

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解答：

(1)
$p-V$線図：横軸を体積 $V$、縦軸を圧力 $p$ とし、状態1から2への等温膨張（$p$ 減少、$V$ 増加）、2から3への断熱膨張（$p$ 減少、$V$ 増加、傾きは等温より急）、3から4への等温圧縮（$p$ 増加、$V$ 減少）、4から1への断熱圧縮（$p$ 増加、$V$ 減少）からなる閉曲線を描く。
$T-S$線図：横軸をエントロピー $S$、縦軸を温度 $T$ とし、状態1から2への等温吸熱（温度 $T_H$ 一定で水平に右へ）、2から3への断熱膨張（エントロピー一定で垂直に下へ）、3から4への等温放熱（温度 $T_L$ 一定で水平に左へ）、4から1への断熱圧縮（エントロピー一定で垂直に上へ）からなる長方形を描く。

(2)
熱効率 $\eta$ より、

$$\eta =1-\frac{T_L}{T_H}$$ $$0.25=1-\frac{300}{T_H}$$ $$\frac{300}{T_H}=0.75$$ $$\boxed{T_H=400\text{ K}}$$

(3)
周波数 $f$ は、

$$f=\frac{30}{60}=0.5\text{ Hz}$$

1サイクルあたりの仕事 $W$ は、

$$W=\frac{300\text{ W}}{0.5\text{ Hz}}$$ $$\boxed{600\text{ J}}$$

(4)
1サイクルあたりの吸熱量 $Q_{in}$ は、

$$Q_{in}=\frac{W}{\eta }$$ $$Q_{in}=\frac{600}{0.25}$$ $$\boxed{2400\text{ J}}$$

(5)
状態1から状態2の等温膨張過程において、内エネルギー変化はゼロであるため、

$$\begin{array}{rl}{Q}_{in}& ={\int }_{V_1}^{V_2}pdV\\ & ={\int }_{V_1}^{V_2}\frac{mR{T}_H}{V}dV\\ & =mR{T}_H\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)\end{array}$$

値を代入する、

$$2400=0.02\times 300\times 400\times \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$ $$2400=2400\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$ $$\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)=1$$ $$\frac{V_2}{V_1}=e\fallingdotseq 2.7$$ $$\boxed{2.7}$$

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这道题目主要考察理想气体卡诺循环的基本热力学计算。卡诺循环由两个等温过程和两个绝热过程组成。
第一问要求作图，在p-V图上是两条等温线交替两条绝热线的特征曲线，而在T-S图上则是一个标准的矩形，因为等温过程温度不变，可逆绝热过程即等熵过程熵不变。
第二问利用卡诺循环的热效率公式，效率仅由高低温热源的温度决定，代入已知条件可以直接解出高温热源温度。
第三问需要注意单位换算，将每分钟的循环次数转化为每秒的频率，用外界获得的总功率除以频率即可得到单次循环对外做的净功。
第四问根据热效率的定义，单次循环做功除以吸热量即为效率，反算吸热量即可。
第五问分析等温吸热过程，由于理想气体等温过程中内能不变，吸收的热量全部转化为对外做功。利用理想气体状态方程将功表示为体积比的对数函数并进行积分，代入前面求得的吸热量等数值，即可解出吸热前后的体积比。