0143-2023 関西工 数学 P233

线性代数 多元微积分

(1)
(i) 行列 $A=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ -2& 1\end{array}\right)$ に対して，$B=T^{-1}AT$ が対角行列となる行列 $T$ を見出し，
$B$ を求めよ．
(ii) $A^n$ ($n$ は自然数) を求めよ．

(2) $xyz$ 空間において，曲面 $x^2+y^2-4z=0$ と，平面 $z=x$ とで囲まれる部分の体
積を求めよ．

(3) 次の関数の $2$ 変数のマクローリン展開を $2$ 次の項まで求めよ．

$$f(x,y)=\sqrt{1-x-y^2}$$

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解答：

(1)
(i)
固有方程式は

$$\begin{array}{rl}|A-\lambda I|& =\left|\begin{array}{ccc}3-\lambda & 0-2& 1-\lambda \end{array}\right|\\ & =(3-\lambda )(1-\lambda )\\ & =0\end{array}$$

固有値は $\lambda =3,1$．
$\lambda =3$ のとき，$(A-3I)\mathbf{x}=0$ より，固有ベクトル ${\mathbf{p}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$．
$\lambda =1$ のとき，$(A-I)\mathbf{x}=0$ より，固有ベクトル ${\mathbf{p}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$．
よって，

$$\boxed{T=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}$$

(ii)
$A=TB{T}^{-1}$ より，$A^n=T{B}^n{T}^{-1}$ である．

$$T^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$$ $$\begin{array}{rl}{A}^n& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0-1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{3}^n& 00& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 01& 1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}{3}^n& 0-3^n& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 01& 1\end{array}\right)\end{array}$$ $$\boxed{A^n=\left(\begin{array}{cc}{3}^n& 0\\ 1-3^n& 1\end{array}\right)}$$

(2)
交線の $xy$ 平面への射影は

$$\begin{array}{rl}\frac{x^2+y^2}{4}& =x\\ ⟹(x-2{)}^2+y^2& =4\end{array}$$

積分領域 $D:(x-2{)}^2+y^2\le 4$ とする．求める体積 $V$ は

$$V={\iint }_D\left(x-\frac{x^2+y^2}{4}\right)dxdy$$

$x=u+2,y=v$ と変換すると，領域 $D^{\prime }$ は $u^2+v^2\le 4$．

$$\begin{array}{rl}x-\frac{x^2+y^2}{4}& =u+2-\frac{(u+2{)}^2+v^2}{4}\\ & =1-\frac{u^2+v^2}{4}\end{array}$$

極座標 $u=r\cos \theta ,v=r\sin \theta$ ($0\le r\le 2,0\le \theta \le 2\pi$) を用いると

$$\begin{array}{rl}V& ={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^2\left(1-\frac{r^2}{4}\right)rdr\\ & =2\pi {\left[\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{16}\right]}_0^2\\ & =2\pi \left(2-1\right)\end{array}$$ $$\boxed{V=2\pi }$$

(3)
$(1+t{)}^{\alpha }$ のマクローリン展開は

$$(1+t{)}^{\alpha }=1+\alpha t+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{t}^2+o(t^2)$$

$t=-x-y^2,\alpha =\frac{1}{2}$ を代入する．

$$\begin{array}{rl}f(x,y)& ={\left(1+(-x-y^2)\right)}^{\frac{1}{2}}\\ & =1+\frac{1}{2}(-x-y^2)-\frac{1}{8}(-x-y^2{)}^2+\cdots \end{array}$$ $$=1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}{y}^2-\frac{1}{8}{x}^2+\cdots$$

2次の項まで整理すると

$$\boxed{1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2-\frac{1}{2}{y}^2}$$

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这几道题目主要涵盖了线性代数中的矩阵对角化以及多元微积分中的重积分和函数展开。

第一题是常规的矩阵对角化问题，分别求出特征值和对应的特征向量，将特征向量按列拼成变换矩阵即可得到对角矩阵，然后利用对角化结果求矩阵的n次幂。计算特征向量时取最简整数解会使后续求逆矩阵和乘法更不容易出错。

第二题求两个曲面围成的体积，本质上是计算二重积分。确定被积函数为上曲面减去下曲面后，关键在于找到积分区域。将两者联立可以发现投影区域是一个圆，为了简化计算，这里采用了一个平移坐标系的技巧，将圆心平移至原点后再使用极坐标变换，这样被积函数和积分限都变得非常简单，能有效避免复杂的三角函数高次幂积分。

第三题求二元函数的麦克劳林展开，对于这类带有根号或指数的复合函数，最有效的方法是利用已知的一元函数泰勒展开公式。把根号内的变量整体看作一元展开式中的代换元，展开后再根据要求保留到二次项即可。二次项意味着变量的指数之和不能超过2，例如展开过程中出现的交叉项以及高次项都可以直接舍去。