0142-2023 関西工 数学 P233

微分积分 微积分 常微分方程

(1) 次の $2$ 変数関数 $f(x,y)$ について，$2$ 次偏導関数を全て求めよ．
また，$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ を求めよ．

$$f(x,y)={\tan }^{-1}\frac{y}{x}$$

(2) 次の不定積分を求めよ．

$$\int \frac{1}{e^{2x}+1}dx$$

(3) 次の微分方程式を解け．

$$\frac{dy}{dx}-y\tan x=\cos x$$

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解答：

(1)
1次偏導関数を求める：

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial x}& =\frac{1}{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}\cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)\\ & =-\frac{y}{x^2+y^2}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial y}& =\frac{1}{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}\cdot \left(\frac{1}{x}\right)\\ & =\frac{x}{x^2+y^2}\end{array}$$

2次偏導関数を求める：

$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}& =\frac{\partial }{\partial x}\left(-\frac{y}{x^2+y^2}\right)\\ & =-y\cdot (-1)(x^2+y^2{)}^{-2}\cdot 2x\\ & =\boxed{\frac{2xy}{(x^2+y^2{)}^2}}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}& =\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)\\ & =x\cdot (-1)(x^2+y^2{)}^{-2}\cdot 2y\\ & =\boxed{-\frac{2xy}{(x^2+y^2{)}^2}}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}& =\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)\\ & =\frac{1\cdot (x^2+y^2)-x\cdot 2x}{(x^2+y^2{)}^2}\\ & =\boxed{\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2{)}^2}}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}& =\frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{y}{x^2+y^2}\right)\\ & =-\frac{1\cdot (x^2+y^2)-y\cdot 2y}{(x^2+y^2{)}^2}\\ & =\boxed{\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2{)}^2}}\end{array}$$

これらの和を計算する：

$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}& =\frac{2xy}{(x^2+y^2{)}^2}-\frac{2xy}{(x^2+y^2{)}^2}\\ & =\boxed{0}\end{array}$$

(2)
被積分関数を変形する：

$$\int \frac{1}{e^{2x}+1}dx=\int \left(1-\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}\right)dx$$ $$=\int dx-\frac{1}{2}\int \frac{(e^{2x}+1{)}^{\prime }}{e^{2x}+1}dx$$ $$=\boxed{x-\frac{1}{2}\log (e^{2x}+1)+C}(C\text{ は積分定数})$$

(3)
方程式の両辺に積分因子 $\cos x$ を掛ける：

$$\cos x\frac{dy}{dx}-y\sin x={\cos }^{2}x$$

左辺を積の微分としてまとめる：

$$\frac{d}{dx}(y\cos x)={\cos }^{2}x$$

両辺を $x$ について積分する：

$$y\cos x=\int {\cos }^{2}xdx$$ $$y\cos x=\int \frac{1+\cos 2x}{2}dx$$ $$y\cos x=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x+C(C\text{ は積分定数})$$ $$y\cos x=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\sin x\cos x+C$$

両辺を $\cos x$ で割る：

$$\boxed{y=\frac{x}{2\cos x}+\frac{1}{2}\sin x+\frac{C}{\cos x}}$$

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这几道题目主要考察了微积分和常微分方程的基础计算。第一题是多元函数的偏导数计算，先利用复合函数求导法则求出一阶偏导数，再继续对变量求导得到四个二阶偏导数，最后将纯二阶偏导数相加验证其满足二维拉普拉斯方程。这类题目计算时要注意商的求导法则，特别留意符号不要出错，二阶混合偏导数相等也可以作为计算正确与否的一个检验手段。第二题是不定积分，这里通过代数变形在分子中凑出分母的导数形式，即加减指数项的技巧，从而快速将积分转化为自然对数的形式，当然也可以通过分子分母同乘负指数项来得到等价的积分结果。第三题是一阶线性常微分方程，解法的核心是寻找积分因子。计算可知积分因子为余弦函数，等式两边同乘后，左边恰好可以凑成乘积的导数形式，右侧则是通过半角公式降幂后进行简单的三角函数积分，最后将等式整理成关于目标函数的显式表达即可。