0141-2024 関西工 机械 P121

振动学 机械振动 常微分方程 动力学

【問２】図２に示すように，左側の質点１の変位を $x_1$，右側の質点２の変位を $x_2$ とする．それぞれの質点の質量は $2m$ と $m$ で，ばね定数は $k$ である．以下の問いに答えよ．
(1) 2つの質点が自由振動する場合の運動方程式を示せ．
(2) 質点の変位を $x_1=u_1\cos \omega t$, $x_2=u_2\cos \omega t$ と仮定して，振動数方程式を導出せよ．
(3) 1次と2次の固有角振動数をそれぞれ ${\omega }_1,{\omega }_2$ とする．${\omega }_1^2,{\omega }_2^2$ を $m,k$ を用いて表せ．
(4) 質点1に力 $F\cos \omega t$ を右向きに加えた．運動方程式を行列の形式で示せ．
(5) 変位を $x_1=X_1\cos \omega t$, $x_2=X_2\cos \omega t$ と仮定して $X_1,X_2$ を求めよ．
(6) 横軸に加振角振動数 $\omega$ をとり，振幅 $|X_1|,|X_2|$ の概略形状を描け．
(7) 振幅 $|X_1|,|X_2|$ の挙動を50字程度で説明せよ．

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解答：

(1) ニュートンの運動の第2法則より、各質点に働く復元力を考慮して方程式を立てる。

$$\{\begin{array}{l}2m{\ddot{x}}_1=-k{x}_1+k(x_2-x_1)\\ m{\ddot{x}}_2=-k(x_2-x_1)\end{array}$$

整理して、

$$\boxed{\{\begin{array}{l}2m{\ddot{x}}_1+2k{x}_1-k{x}_2=0\\ m{\ddot{x}}_2-k{x}_1+k{x}_2=0\end{array}}$$

(2) $x_1=u_1\cos \omega t,x_2=u_2\cos \omega t$ を(1)の式に代入し、$\cos \omega t$ でくくって整理すると以下の連立方程式を得る。

$$\left(\begin{array}{cc}2k-2m{\omega }^2& -k\\ -k& k-m{\omega }^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$

自明でない解 $u_1,u_2$ をもつための条件は、係数行列の行列式がゼロになることである。

$$(2k-2m{\omega }^2)(k-m{\omega }^2)-(-k{)}^2=0$$

これを展開して整理すると、

$$\boxed{2m^2{\omega }^4-4mk{\omega }^2+k^2=0}$$

(3) (2)で得た振動数方程式を ${\omega }^2$ についての二次方程式として解く。

$$\begin{array}{rl}{\omega }^2& =\frac{4mk\pm \sqrt{16m^2{k}^2-8m^2{k}^2}}{4m^2}\\ & =\frac{4\pm 2\sqrt{2}}{4}\frac{k}{m}\\ & =\left(1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\frac{k}{m}\end{array}$$

${\omega }_1<{\omega }_2$ であるため、

$$\boxed{{\omega }_1^2=\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\frac{k}{m},{\omega }_2^2=\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\frac{k}{m}}$$

(4) 質点1に外力 $F\cos \omega t$ が作用するため、(1)の第1式の右辺がこの外力となる。

$$\{\begin{array}{l}2m{\ddot{x}}_1+2k{x}_1-k{x}_2=F\cos \omega t\\ m{\ddot{x}}_2-k{x}_1+k{x}_2=0\end{array}$$

これを行列形式で記述すると、

$$\boxed{\left(\begin{array}{cc}2m& 0\\ 0& m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\ddot{x}}_1\\ {\ddot{x}}_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2k& -k\\ -k& k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}F\cos \omega t\\ 0\end{array}\right)}$$

(5) 与えられた変位を(4)式に代入し、両辺の $\cos \omega t$ を消去する。

$$\left(\begin{array}{cc}2k-2m{\omega }^2& -k\\ -k& k-m{\omega }^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}F\\ 0\end{array}\right)$$

逆行列を用いて振幅 $X_1,X_2$ を求める。行列式を $\Delta =2m^2{\omega }^4-4mk{\omega }^2+k^2$ とする。

$$\left(\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\end{array}\right)=\frac{1}{\Delta }\left(\begin{array}{cc}k-m{\omega }^2& k\\ k& 2k-2m{\omega }^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}F\\ 0\end{array}\right)$$ $$\boxed{X_1=\frac{F(k-m{\omega }^2)}{2m^2{\omega }^4-4mk{\omega }^2+k^2},X_2=\frac{Fk}{2m^2{\omega }^4-4mk{\omega }^2+k^2}}$$

(6)

$$\text{横軸 }\omega \text{ に対して、}\omega ={\omega }_1,{\omega }_2\text{ で }|X_1|,|X_2|\text{ は共に無限大へ発散（共振）する曲線を描く。}$$ $$|X_1|\text{ は }\omega =\sqrt{k/m}\text{ において振幅が }0\text{ となる（横軸と接する）。}|X_2|\text{ は }0\text{ にはならない。}$$

(7)
加振角振動数が固有値に一致すると両者は共振し、$\sqrt{k/m}$のとき質点１は反共振により静止する。

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这是一道经典的无阻尼双自由度系统受迫振动问题。解答此类问题的核心在于正确建立系统的质量矩阵和刚度矩阵。在自由振动情况下，通过假设简谐振动可以得到一个特征值问题，令其特征方程（即频率方程）等于零，即可解出系统的各阶固有角频率。

在考虑受迫振动时，外力项会导致系统产生与激发频率相同的稳态响应。题目的后半部分揭示了机械振动中一个非常重要的现象：动力吸振效应（反共振）。当我们观察求得的振幅表达式时可以发现，当激发频率正好等于附加子系统（即右侧质量为m，弹簧为k的系统）的固有频率时，主质量块（质点1）的振幅会变为零。这种现象在工程界被广泛应用于消除机器特定转速下的剧烈振动，例如通过加装调谐质量阻尼器（TMD）来吸收并抵消主系统的振动能量。