0140-2024 関西工 机械 P121

振动学 机械振动 单自由度系统 阻尼自由振动 常微分方程

【問 1】図1に示すように，質量$m$，ばね定数$k$，粘性減衰係数$c$の1自由度振動系がある．質点の変位を$x$，時刻を$t$で表す．以下の問いに答えよ．
(1) 質点の自由振動の運動方程式を示せ．
(2) 非減衰の固有角振動数${\omega }_n$，減衰比$\zeta$を与えられた変数で表せ．ただし導出過程は不要．
(3) 変位を$x=X{e}^{st}$と仮定して，運動方程式に代入し，$s$に関する2次方程式を求めよ．
(4) 減衰自由振動する条件を減衰比$\zeta$で示し，減衰固有角振動数${\omega }_d$を求めよ．
(5) 初期変位$x(0)=x_0$，初期速度$\dot{x}(0)=v_0$とする．減衰自由振動を与えられた変数で表せ．
(6) 自由振動の初期変位が正で，初期速度も正の値である．減衰自由振動の概略図を描け．

---

解答：

(1)
ニュートンの運動方程式より、

$$m\ddot{x}=-c\dot{x}-kx$$ $$\boxed{m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0}$$

(2)

$$\boxed{{\omega }_n=\sqrt{\frac{k}{m}},\zeta =\frac{c}{2\sqrt{mk}}}$$

(3)
$x=X{e}^{st}$ より、$\dot{x}=sX{e}^{st}$、$\ddot{x}=s^{2}X{e}^{st}$ を運動方程式に代入する。

$$(m{s}^2+cs+k)X{e}^{st}=0$$

$X{e}^{st}\ne 0$ であるため、

$$\boxed{m{s}^2+cs+k=0\left(\text{または }{s}^2+\frac{c}{m}s+\frac{k}{m}=0\right)}$$

(4)
減衰自由振動（不足減衰）となる条件は、特性方程式が複素数解を持つことであるから、

$$\boxed{\zeta <1}$$

このとき、特性方程式の解は $s=-\zeta {\omega }_n\pm i{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$ となるため、減衰固有角振動数 ${\omega }_d$ は虚部の大きさとなる。

$$\boxed{{\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}}$$

(5)
減衰自由振動の一般解は次のように表される。

$$x(t)=e^{-\zeta {\omega }_{n}t}\left(A\cos {\omega }_{d}t+B\sin {\omega }_{d}t\right)$$

初期条件 $x(0)=x_0$ を代入すると、

$$A=x_0$$

速度 $\dot{x}(t)$ は、

$$\dot{x}(t)=-\zeta {\omega }_n{e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}\left(A\cos {\omega }_{d}t+B\sin {\omega }_{d}t\right)+e^{-\zeta {\omega }_{n}t}\left(-{\omega }_{d}A\sin {\omega }_{d}t+{\omega }_{d}B\cos {\omega }_{d}t\right)$$

初期条件 $\dot{x}(0)=v_0$ を代入すると、

$$\begin{array}{rl}-\zeta {\omega }_{n}A+{\omega }_{d}B& =v_0\\ ⟹B& =\frac{v_0+\zeta {\omega }_n{x}_0}{{\omega }_d}\end{array}$$

これらを一般解に代入して、

$$\boxed{x(t)=e^{-\zeta {\omega }_{n}t}\left(x_0\cos {\omega }_{d}t+\frac{v_0+\zeta {\omega }_n{x}_0}{{\omega }_d}\sin {\omega }_{d}t\right)}$$

(6)
波形の特徴：縦軸に変位$x$、横軸に時刻$t$をとる。$t=0$ のとき切片 $x=x_0>0$ から始まり、初期の接線の傾きが $\dot{x}=v_0>0$ であるため最初は右上がりの曲線となる。その後極大値を迎え、$x=0$ を中心にして振幅が包絡線 $\pm C{e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}$ に沿って指数関数的に減衰しながら振動する波形となる。

---

这道题目考察的是机械振动中单自由度弹簧-质量-阻尼系统的基础分析。第一问要求建立运动微分方程，通过牛顿第二定律考虑弹簧的弹性恢复力和阻尼器的粘性阻尼力即可得出。第二问直接给出了系统无阻尼固有圆频率和阻尼比的定义，这两个参数是后续分析系统的核心。第三问利用常系数线性常微分方程的特征方程法，通过代入指数形式的试探解将微分方程转化为关于s的一元二次方程。第四问讨论了产生阻尼自由振动（即欠阻尼状态）的条件，此时阻尼比必须小于1，从而使得特征方程的根为一对共轭复数，其虚部大小即为系统的阻尼固有圆频率。第五问是根据一般解的形式代入初始位移和初始速度这两个边界条件来求解待定系数，求解导数时需要利用乘积的求导法则，最后将求得的常数代回原方程即可得到系统响应的确切表达式。最后一问要求描绘振动曲线的概略图，关键点在于初始位移为正，且初始速度也为正，这就意味着在零时刻之后的一小段时间内，位移会继续增加直到达到第一个波峰，随后才会在零点上下进行振幅呈指数衰减的周期性震荡。