0138-2024 関西工 机械 P120

材料力学 静定梁 超静定梁 弯曲变形 叠加法

図1に示す真直はりについて以下の各問いに答えよ．ただし A 点を $x$ 軸の原点とし，はりの縦弾性係数を $E\text{ [Pa]}$ とせよ．
(1) 図1(a)のはりのせん断力図(SFD)と曲げモーメント図(BMD)を描き危険断面の $x$ 座標を示せ．
(2) 図1(a)のはりの断面が直径 $d\text{ [m]}$ の円形の場合，断面2次モーメント $I_z{\text{ [m}}^4\text{]}$ および断面係数 $Z{\text{ [m}}^3\text{]}$ を導出過程も含めて示せ．ただし，円周率を $\pi$ とせよ．
(3) 図1(a)のはりに生じる最大曲げ応力 ${\sigma }_{\text{max}}\text{ [Pa]}$ を求めよ．
(4) 図1(a)のはりに生じる最大たわみ $y_{\text{max}}\text{ [m]}$ とその $x$ 座標を求めよ．
(5) 図1(a)のはりの右端 B を単純支持し図1(b)の状態とした．図1(c)に示す点 B に集中荷重 $R_B\text{ [N]}$ が作用するはりと図1(a)に示すはりの重ね合わせから図1(b)のはりの C 点に生じるたわみ量 $y_C\text{ [m]}$ を示せ．

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解答：

(1)
SFDおよびBMDの図示は省略．各区間の曲げモーメント $M(x)$ は以下の通り．

$$\begin{array}{rl}0& \le x\\ & \le l/2\text{ において}M(x)\\ & =-P\left(\frac{l}{2}-x\right)\end{array}$$ $$l/2<x\le l\text{ において}M(x)=0$$

曲げモーメントの絶対値が最大となる位置が危険断面であるため，

$$\boxed{x=0}$$

(2)
極座標系 $(y=\rho \sin \theta ,z=\rho \cos \theta )$ を用いて微小面積 $dA=\rho d\rho d\theta$ について積分する．

$$\begin{array}{rl}{I}_z& ={\int }_A{y}^{2}dA\\ & ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{d/2}(\rho \sin \theta {)}^2\rho d\rho d\theta \end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{I}_z& ={\int }_0^{2\pi }{\sin }^2\theta d\theta {\int }_0^{d/2}{\rho }^{3}d\rho \\ & ={\left[\frac{\theta }{2}-\frac{\sin 2\theta }{4}\right]}_0^{2\pi }{\left[\frac{{\rho }^4}{4}\right]}_0^{d/2}\end{array}$$ $$I_z=\pi \cdot \frac{1}{4}{\left(\frac{d}{2}\right)}^4$$ $$\boxed{I_z=\frac{\pi d^4}{64}}$$

断面係数 $Z$ は，断面の最外縁までの距離を $y_{\text{max}}=d/2$ として，

$$\begin{array}{rl}Z& =\frac{I_z}{y_{\text{max}}}\\ & =\frac{\pi d^4/64}{d/2}\end{array}$$ $$\boxed{Z=\frac{\pi d^3}{32}}$$

(3)
最大曲げモーメントは $x=0$ における $M_{\text{max}}=Pl/2$ である．

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_{\text{max}}& =\frac{M_{\text{max}}}{Z}\\ & =\frac{Pl/2}{\pi d^3/32}\end{array}$$ $$\boxed{{\sigma }_{\text{max}}=\frac{16Pl}{\pi d^3}}$$

(4)
$0\le x\le l/2$ におけるたわみ曲線の微分方程式は $EI{y}^{\prime \prime }=P(l/2-x)$
積分して境界条件（$x=0$ で $y^{\prime }=0,y=0$）を適用すると，

$$EI{y}^{\prime }=\frac{P}{2}\left(lx-x^2\right)$$ $$EIy=\frac{P}{2}\left(\frac{l{x}^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)$$

$C$ 点 $(x=l/2)$ におけるたわみ $y_C$ およびたわみ角 ${\theta }_C$ は，

$$\begin{array}{rl}{y}_C& =\frac{P}{2EI}\left(\frac{l(l/2{)}^2}{2}-\frac{(l/2{)}^3}{3}\right)\\ & =\frac{P{l}^3}{24EI}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\theta }_C& =\frac{P}{2EI}\left(l(l/2)-(l/2{)}^2\right)\\ & =\frac{P{l}^2}{8EI}\end{array}$$

$l/2<x\le l$ の区間は曲げモーメントがゼロであるため直線状に変形する．最大たわみは $B$ 点 $(x=l)$ で生じる．

$$\begin{array}{rl}{y}_{\text{max}}& =y(l)\\ & =y_C+{\theta }_C\left(l-\frac{l}{2}\right)\\ & =\frac{P{l}^3}{24EI}+\frac{P{l}^2}{8EI}\left(\frac{l}{2}\right)\\ & =\frac{P{l}^3}{24EI}+\frac{P{l}^3}{16EI}\end{array}$$ $$\boxed{y_{\text{max}}=\frac{5P{l}^3}{48EI}(x\text{座標}:x=l)}$$

(5)
図1(b)は図1(a)と図1(c)の重ね合わせである．図1(c)の $B$ 点におけるたわみは $y_{Bc}=-\frac{R_B{l}^3}{3EI}$
$B$ 点の全たわみがゼロとなる条件より，

$$\begin{array}{rl}{y}_B& =\frac{5P{l}^3}{48EI}-\frac{R_B{l}^3}{3EI}=0\\ ⟹R_B& =\frac{5}{16}P\end{array}$$

図1(c)による $C$ 点 $(x=l/2)$ のたわみ $y_{Cc}$ は，

$$\begin{array}{rl}{y}_{Cc}& =\frac{-R_B(l/2{)}^2}{6EI}\left(3l-\frac{l}{2}\right)\\ & =-\frac{5R_B{l}^3}{48EI}\\ & =-\frac{25P{l}^3}{768EI}\end{array}$$

したがって，求める $C$ 点のたわみ $y_C$ は，(4)で求めた $y_C$ と $y_{Cc}$ の和である．

$$\begin{array}{rl}{y}_C& =\frac{P{l}^3}{24EI}-\frac{25P{l}^3}{768EI}\\ & =\frac{32P{l}^3-25P{l}^3}{768EI}\end{array}$$ $$\boxed{y_C=\frac{7P{l}^3}{768EI}}$$

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本题考查了材料力学中静定梁与一次超静定梁的内力及弯曲变形计算。第一问要求分析简支悬臂梁受集中力作用时的内力分布，最大弯矩毫无疑问出现在固定端，即危险截面所在位置。第二问是一道标准的积分推导题，需利用极坐标系将面积分转化为双重积分，进而求出圆形截面的极惯性矩（或抗弯惯性矩）及截面模量，这是后续应力计算的基础。第三问直接套用弯曲正应力公式即可得到最大应力。第四问需要利用挠曲线近似微分方程求解位移，对于后半段没有弯矩作用的梁段，其变形保持为直线，因此最大挠度（位于自由端处）可以通过跨中挠度加上跨中转角带来的附加位移求得。第五问采用了经典的叠加法处理一次超静定问题，将多余约束（B点的简单支撑）转化为未知反力，通过位移协调条件（B点总挠度为零）解出该支反力，最后再次利用叠加法求出跨中C点的实际挠度。