0137-2024 関西工 机械 P119

流体力学 可压缩流体 等熵流动 喷管

よどみタンク（タンク内流速$u_0=0$）に貯められた気体が，タンクに取り付けられた先細ノズルから連続的に噴出しており，この流れを1次元的に取り扱うことを考える．タンク内の気体圧力$p_0$，および密度${\rho }_0$は常に一定であり，系の状態変化は断熱変化と仮定して，以下の問いに答えよ．なお，気体は理想気体として扱えるとし，その比気体定数（単位質量当たりの気体定数）を$R$，比熱比$\kappa$とし，粘性による損失は無視できるとする．
(1) タンク内の温度$T_0$を示せ．
(2) タンク内の単位質量あたりの気体が持つエンタルピー$h_0$を示せ．
(3) タンク内の音速$a_0$を示せ．
ノズル出口の圧力が$p$（ただし，真空ではない）として，以下の問いに答えよ．
(4) ノズル出口の密度$\rho$を示せ．
(5) ノズル出口の流速$u$を示せ．
(6) ノズル出口のマッハ数$M$を示せ．
(7) 先細ノズル出口で得られるマッハ数の最大値とその理由を答えよ．

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解答：

(1)
理想気体の状態方程式より

$$p_0={\rho }_{0}R{T}_0$$ $$\boxed{T_0=\frac{p_0}{{\rho }_{0}R}}$$

(2)
定圧比熱$c_p$と比気体定数$R$，比熱比$\kappa$の関係式より

$$\begin{array}{rl}{c}_p-c_v& =R\kappa =\frac{c_p}{c_v}\\ ⟹c_p& =\frac{\kappa R}{\kappa -1}\end{array}$$

理想気体のエンタルピーは

$$\begin{array}{rl}{h}_0& =c_p{T}_0\\ & =\left(\frac{\kappa R}{\kappa -1}\right)\left(\frac{p_0}{{\rho }_{0}R}\right)\end{array}$$ $$\boxed{h_0=\frac{\kappa p_0}{(\kappa -1){\rho }_0}}$$

(3)
理想気体の音速公式より

$$a_0=\sqrt{\kappa R{T}_0}$$

(1)の結果を代入して

$$\boxed{a_0=\sqrt{\frac{\kappa p_0}{{\rho }_0}}}$$

(4)
断熱かつ摩擦なし（等エントロピー）変化であるため

$$\frac{p_0}{{\rho }_0^{\kappa }}=\frac{p}{{\rho }^{\kappa }}$$ $$\boxed{\rho ={\rho }_0{\left(\frac{p}{p_0}\right)}^{\frac{1}{\kappa }}}$$

(5)
エネルギー保存則より

$$h_0+\frac{1}{2}{u}_0^2=h+\frac{1}{2}{u}^2$$

$u_0=0$ および $h=\frac{\kappa p}{(\kappa -1)\rho }$ より

$$\begin{array}{rl}u& =\sqrt{2(h_0-h)}\\ & =\sqrt{2\left(\frac{\kappa p_0}{(\kappa -1){\rho }_0}-\frac{\kappa p}{(\kappa -1)\rho }\right)}\end{array}$$

(4)の$\rho$を代入して整理すると

$$\boxed{u=\sqrt{\frac{2\kappa p_0}{(\kappa -1){\rho }_0}\left\{1-{\left(\frac{p}{p_0}\right)}^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}\right\}}}$$

(6)
出口での音速$a$は

$$\begin{array}{rl}a& =\sqrt{\frac{\kappa p}{\rho }}\\ & =\sqrt{\frac{\kappa p}{{\rho }_0(p/p_0{)}^{1/\kappa }}}\\ & =\sqrt{\frac{\kappa p_0}{{\rho }_0}{\left(\frac{p}{p_0}\right)}^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}}\end{array}$$

マッハ数$M=u/a$より

$$M=\frac{\sqrt{\frac{2\kappa p_0}{(\kappa -1){\rho }_0}\left\{1-{\left(\frac{p}{p_0}\right)}^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}\right\}}}{\sqrt{\frac{\kappa p_0}{{\rho }_0}{\left(\frac{p}{p_0}\right)}^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}}}$$ $$\boxed{M=\sqrt{\frac{2}{\kappa -1}\left\{{\left(\frac{p_0}{p}\right)}^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}-1\right\}}}$$

(7)

$$\boxed{\text{最大値}:1}$$

理由: 先細ノズル（流路面積が減少するノズル）では、流速が音速（M=1）に達するとチョーク状態となり、それ以上超音速に加速するためには流路面積が拡大する末広部が必要となるため。

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这道题目考察的是可压缩流体力学中理想气体在一维等熵流动下的基本性质，尤其是收缩喷管内的流动规律。题目明确指出气体从驻点容器流出，过程绝热且无粘性损失，因此整个过程满足等熵条件。前三问较为基础，通过理想气体状态方程、比热容与气体常数及比热比的关系，可以推导出驻点温度、驻点比焓以及驻点音速的表达式。第四问利用等熵关系式，将出口密度与压力、驻点参数联系起来。第五问运用了可压缩流体的能量方程，总焓在流动过程中保持不变，通过驻点比焓与出口比焓的差值即可求出出口气流的动能，进而得到流速表达式。第六问则是将求得的流速除以出口处的局部音速，经过代数化简得到以压力比表示的马赫数公式。最后一问涉及喷管的几何形状对流动特性的限制，对于单向收缩的喷管，气流在出口处最多只能被加速到音速，即马赫数为1。此时发生壅塞现象（Choking），如果想要将气流进一步加速到超音速，必须在喉部之后增加扩张段，也就是采用拉伐尔喷管（收扩喷管）。