0136-2024 関西工 机械 P119

流体力学 伯努利方程 文丘里管

図に示すように，水平に対して管軸を角度$\theta$傾けて設置したベンチュリー管内の流れを1次元的に扱うことを考える．ベンチュリー管の断面①（直径が$d_1$）と断面②（直径が$d_2$）は管軸方向に距離$L$だけ離れており，各断面の側面に設けられた静圧孔を介してU字管マノメータ（マノメータ液の密度${\rho }_m$）に接続されている．ベンチュリー管に密度$\rho$（ただし$\rho <{\rho }_m$）の非圧縮性流体を体積流量$Q$で定常的に流すと，マノメータの水頭差が$\Delta h(>0)$になった．以下の問いに答えなさい．なお重力加速度を$g$とし，ベンチュリー管内では流れのはく離はなく，摩擦の影響は無視できるとする．
(1) 断面①と断面②における流速$u_1$，$u_2$を，体積流量$Q$を使って示せ．
(2) 断面①と断面②における圧力をそれぞれ$p_1$，$p_2$とした場合，断面①と断面②の間に対するベルヌーイの定理を示せ．
(3) マノメータの圧力の釣り合いから，断面①と断面②の圧力差$p_1-p_2$を求めよ．
(4) 体積流量$Q$を，$\rho$，${\rho }_m$，$d_1$，$d_2$，$g$，$\Delta h$を使って示せ．

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解答：

(1)
連続の式より，断面①および断面②における断面積をそれぞれ$A_1,A_2$とすると

$$A_1=\frac{\pi }{4}{d}_1^2{A}_2=\frac{\pi }{4}{d}_2^2$$ $$Q=A_1{u}_1=A_2{u}_2$$

よって

$$\boxed{u_1=\frac{4Q}{\pi d_1^2},u_2=\frac{4Q}{\pi d_2^2}}$$

(2)
断面①の高さを基準（$z_1=0$）とすると，断面②の高さは $z_2=L\sin \theta$ となる．
摩擦損失がない非圧縮性流体の定常流に対するベルヌーイの定理より

$$p_1+\frac{1}{2}\rho u_1^2+\rho g(0)=p_2+\frac{1}{2}\rho u_2^2+\rho g(L\sin \theta )$$ $$\boxed{p_1+\frac{1}{2}\rho u_1^2=p_2+\frac{1}{2}\rho u_2^2+\rho gL\sin \theta }$$

(3)
U字管マノメータの左側の液面（低い方）を基準面として，その水平面での圧力が左右の管で等しいことから釣り合いの式を立てる．
断面①の中心から基準面までの鉛直下向きの距離を $h_1$ とし，断面②の中心から右側液面までの鉛直下向きの距離を $h_2$ とすると，幾何学的な高さの関係より

$$h_2+\Delta h-h_1=L\sin \theta$$

基準面における圧力の釣り合いは

$$p_1+\rho g{h}_1=p_2+\rho g{h}_2+{\rho }_{m}g\Delta h$$

$h_1$ を消去して整理すると

$$p_1+\rho g(h_2+\Delta h-L\sin \theta )=p_2+\rho g{h}_2+{\rho }_{m}g\Delta h$$ $$p_1-p_2=\rho gL\sin \theta +{\rho }_{m}g\Delta h-\rho g\Delta h$$ $$\boxed{p_1-p_2=\rho gL\sin \theta +({\rho }_m-\rho )g\Delta h}$$

(4)
(2)の式を変形すると

$$p_1-p_2-\rho gL\sin \theta =\frac{1}{2}\rho (u_2^2-u_1^2)$$

これに(3)の結果を代入すると

$$({\rho }_m-\rho )g\Delta h=\frac{1}{2}\rho (u_2^2-u_1^2)$$

(1)の流速を代入する

$$({\rho }_m-\rho )g\Delta h=\frac{1}{2}\rho \left[{\left(\frac{4Q}{\pi d_2^2}\right)}^2-{\left(\frac{4Q}{\pi d_1^2}\right)}^2\right]$$ $$({\rho }_m-\rho )g\Delta h=\frac{1}{2}\rho \left(\frac{16Q^2}{{\pi }^2}\right)\left(\frac{1}{d_2^4}-\frac{1}{d_1^4}\right)$$ $$({\rho }_m-\rho )g\Delta h=\frac{8\rho Q^2}{{\pi }^2}\left(\frac{d_1^4-d_2^4}{d_1^4{d}_2^4}\right)$$

$Q^2$ について解くと

$$Q^2=\frac{{\pi }^2{d}_1^4{d}_2^4({\rho }_m-\rho )g\Delta h}{8\rho (d_1^4-d_2^4)}$$

$Q>0$ であるから

$$\boxed{Q=\frac{\pi }{4}{d}_1^2{d}_2^2\sqrt{\frac{2({\rho }_m-\rho )g\Delta h}{\rho (d_1^4-d_2^4)}}}$$

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这道题考察了流体力学中倾斜文丘里管内部流动的基本原理，结合了连续性方程、伯努利方程以及静力学压强平衡等核心考点。第一问利用质量守恒对应的连续性方程，通过管径表示出横截面积，从而将未知流速用体积流量表达。第二问构建伯努利方程时，需要特别注意由于管身倾斜而产生的重力势能变化，即位置水头的差异，利用三角函数将其表示出来即可。第三问处理U型管压差计时，最稳妥的方法是寻找一条流体静止且连通的最低水平面作为等压面，通过计算两侧液柱到底部的总压强并令其相等，再结合几何高度差的关系来消去未知的管路长度，从而精确得出两截面之间的真实静压差。第四问将前面推导得到的压差表达式代入伯努利方程中，可以发现包含倾角的重力项刚好相互抵消，这意味着利用U型差压计测量流量时，计算公式实际上与文丘里管的安装倾角无关，最终只需将流速替换为流量并进行代数化简，即可得到仅由几何尺寸和流体物性参数决定的最终流量公式。