0135-2024 関西工 机械 P118

力学 工程热力学 大学物理 理想气体循环 狄塞尔循环

【問 2】右図の $p-V$ 線図に示されるディーゼルサイクルについて以下の問いに答えよ．なお，シリンダ内の作動流体は質量 $m$, 比熱比 $\kappa =c_p/c_v$ の理想気体とする．また，$\sigma =V_2/V_1$ を締切比，$\epsilon =V_4/V_1$ を圧縮比とする．各状態の温度は $T_1$, $T_2$, $T_3$, $T_4$ で表し，熱と仕事は系に入る方向を正とする．

(1) 状態 $4\to 1$ の状態変化は断熱圧縮過程である．$T_1$ を $\epsilon$, $T_4$, $\kappa$ を使って表せ．
(2) 状態 $1\to 2$ の状態変化は等圧加熱過程である．$T_2$ を $\sigma$, $\epsilon$, $T_4$, $\kappa$ を使って表せ．
(3) 状態 $2\to 3$ の状態変化は断熱膨張過程である．$T_3$ を $\sigma$, $T_4$, $\kappa$ を使って表せ．
(4) 等圧加熱過程（状態 $1\to 2$）および等容放熱過程（状態 $3\to 4$）において，系に出入りする熱量 $\Delta Q_{12}$ および $\Delta Q_{34}$ を本問で与えられた変数を使って表せ．
(5) 本サイクルの熱効率 $\eta$ を $\sigma$, $\epsilon$, $\kappa$ を使って表せ．
(6) ガソリンエンジンとは異なり，ディーゼルエンジンの燃焼室には点火プラグが無い．その理由を述べよ．

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解答：

(1)

$$T_4{V}_4^{\kappa -1}=T_1{V}_1^{\kappa -1}$$ $$T_1=T_4{\left(\frac{V_4}{V_1}\right)}^{\kappa -1}$$ $$\boxed{T_1=T_4{\epsilon }^{\kappa -1}}$$

(2)

$$\begin{array}{rl}\frac{V_1}{T_1}& =\frac{V_2}{T_2}\\ ⟹T_2& =T_1\left(\frac{V_2}{V_1}\right)=T_1\sigma \end{array}$$ $$\boxed{T_2=\sigma {\epsilon }^{\kappa -1}{T}_4}$$

(3)

$$T_2{V}_2^{\kappa -1}=T_3{V}_3^{\kappa -1}$$ $$\begin{array}{rl}{V}_3& =V_4\text{ より}{T}_3\\ & =T_2{\left(\frac{V_2}{V_4}\right)}^{\kappa -1}\\ & =T_2{\left(\frac{V_2/V_1}{V_4/V_1}\right)}^{\kappa -1}\\ & =T_2{\left(\frac{\sigma }{\epsilon }\right)}^{\kappa -1}\end{array}$$ $$T_3=(\sigma {\epsilon }^{\kappa -1}{T}_4){\left(\frac{\sigma }{\epsilon }\right)}^{\kappa -1}$$ $$\boxed{T_3={\sigma }^{\kappa }{T}_4}$$

(4)

$$\boxed{\Delta Q_{12}=m{c}_p(T_2-T_1)}$$ $$\boxed{\Delta Q_{34}=m{c}_v(T_4-T_3)}$$

(5)

$$\begin{array}{rl}\eta & =\frac{\Delta Q_{12}+\Delta Q_{34}}{\Delta Q_{12}}\\ & =1+\frac{\Delta Q_{34}}{\Delta Q_{12}}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\eta & =1+\frac{m{c}_v(T_4-T_3)}{m{c}_p(T_2-T_1)}\\ & =1+\frac{1}{\kappa }\frac{T_4-{\sigma }^{\kappa }{T}_4}{\sigma {\epsilon }^{\kappa -1}{T}_4-{\epsilon }^{\kappa -1}{T}_4}\end{array}$$ $$\boxed{\eta =1-\frac{1}{\kappa {\epsilon }^{\kappa -1}}\frac{{\sigma }^{\kappa }-1}{\sigma -1}}$$

(6)
圧縮比が高く、断熱圧縮により空気が高温となり、噴射された燃料が自然発火するため。

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这道题目考察的是工程热力学中经典的狄塞尔循环（柴油机循环）。该循环由绝热压缩、等压加热、绝热膨胀和等容放热四个过程组成。第一问到第三问主要利用理想气体的绝热过程方程和查理定律，结合题目给出的压缩比和截断比，将各个状态节点的温度逐步用初始状态的温度表示出来。这里的推导关键在于认清等容过程中体积相等这一隐含条件，从而完成截断比和压缩比的代换。第四问直接利用定压比热容和定容比热容的定义写出吸放热量公式即可，题目规定热量进入系统为正，所以等压加热过程的计算结果为正值，等容放热过程计算出的结果自然是负值。第五问计算热效率，热机效率的本质是净功与吸收的热量之比，根据热力学第一定律，循环净功等于总吸热量与总放热量的代数和，将前面推导得到的温度表达式代入化简，就能得到仅由压缩比、截断比和绝热指数表达的狄塞尔循环效率公式。最后一问涉及内燃机的实际工作原理，与奥托循环（汽油机）利用火花塞点火不同，柴油机依靠极高的压缩比使气缸内空气在压缩冲程末期达到柴油的自燃温度，随后喷入雾化柴油实现压燃，因此不需要额外的点火装置。