0134-2024 関西工 机械 P118

力学 大学物理 工程热力学 理想气体 热力学第一定律

シリンダ内に封入された質量 $m$, 温度 $T_1$ の空気をピストンで断熱的に圧縮（状態 $1\to 2$）し，その後，圧力を一定に保ちながらピストンを元の位置に戻した（状態 $2\to 3$）．$V_1=2V_2=V_3$ であるとき，以下の問いに答えよ．なお，空気は比熱比 $\kappa =c_p/c_v$ の理想気体とし，熱量と仕事は系に入る方向を正とする．また，(2)〜(5)，(7)の解答に利用できる変数は $m,c_v,c_p,\kappa ,T_1$ とする．（計算途中では他の変数を用いてよい．必要であれば $\ln 2\fallingdotseq 0.7$ として用いよ．）

(1) 状態 $1\to 2\to 3$ の状態変化を表す $p-V$ 線図の概略図を描け．
(2) 断熱圧縮過程（状態 $1\to 2$）における仕事 $\Delta W_{12}$ を求めよ．
(3) 等圧過程（状態 $2\to 3$）における熱量 $\Delta Q_{23}$ を求めよ．
(4) 一連の状態変化（状態 $1\to 2\to 3$）のエントロピ変化 $\Delta S_{1\to 2\to 3}(=\Delta S_{12}+\Delta S_{23})$ を求めよ．
(5) 状態 3 でピストンを固定したまま，シリンダ内の空気が温度 $T_1$ の周囲環境と熱平衡に達するまで放置した（状態 $3\to 1$）．この状態変化の熱量 $\Delta Q_{31}$ を求めよ．
(6) 状態 $3\to 1$ の状態変化を(1)で描いた $p-V$ 線図に追加して破線で描け．
(7) 状態 $3\to 1$ の状態変化のエントロピ変化 $\Delta S_{31}$ を求めよ．

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解答：

(1)
$p-V$線図の描画は省略（状態1から状態2へは左上方向へ向かう上に凸の曲線，状態2から状態3へは右方向へ向かう水平な直線となる）．

(2)
状態2の温度を $T_2$ とする．ポアソンの法則より

$$T_1{V}_1^{\kappa -1}=T_2{V}_2^{\kappa -1}$$ $$\begin{array}{rl}{T}_2& =T_1{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\kappa -1}\\ & =2^{\kappa -1}{T}_1\end{array}$$

熱力学第一法則 $Q_{12}+W_{12}=\Delta U_{12}$ および断熱過程 $Q_{12}=0$ より

$$\Delta W_{12}=\Delta U_{12}=m{c}_v(T_2-T_1)$$ $$\boxed{\Delta W_{12}=m{c}_v(2^{\kappa -1}-1)T_1}$$

(3)
状態3の温度を $T_3$ とする．シャルルの法則より

$$\frac{V_2}{T_2}=\frac{V_3}{T_3}$$ $$T_3=T_2\frac{V_3}{V_2}=2T_2=2^{\kappa }{T}_1$$

等圧過程であるため

$$\begin{array}{rl}\Delta Q_{23}& =m{c}_p(T_3-T_2)\\ & =m{c}_p(2^{\kappa }{T}_1-2^{\kappa -1}{T}_1)\end{array}$$ $$\boxed{\Delta Q_{23}=m{c}_p{2}^{\kappa -1}{T}_1}$$

(4)
断熱過程のため $\Delta S_{12}=0$

$$\begin{array}{rl}\Delta S_{23}& ={\int }_{T_2}^{T_3}\frac{m{c}_p}{T}dT\\ & =m{c}_p\ln \left(\frac{T_3}{T_2}\right)\\ & =m{c}_p\ln 2\end{array}$$ $$\boxed{\Delta S_{1\to 2\to 3}=m{c}_p\ln 2(\text{または }0.7m{c}_p)}$$

(5)
定積過程であるため $W_{31}=0$

$$\Delta Q_{31}=\Delta U_{31}=m{c}_v(T_1-T_3)$$ $$\boxed{\Delta Q_{31}=m{c}_v(1-2^{\kappa })T_1}$$

(6)
$p-V$線図の描画は省略（状態3から状態1へ向かう鉛直下向きの破線となる）．

(7)
定積過程のエントロピ変化より

$$\begin{array}{rl}\Delta S_{31}& ={\int }_{T_3}^{T_1}\frac{m{c}_v}{T}dT\\ & =m{c}_v\ln \left(\frac{T_1}{T_3}\right)\\ & =m{c}_v\ln (2^{-\kappa })\\ & =-\kappa m{c}_v\ln 2\end{array}$$

$c_p=\kappa c_v$ より

$$\boxed{\Delta S_{31}=-m{c}_p\ln 2(\text{または }-0.7m{c}_p)}$$

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这道题考察了理想气体在不同热力学过程中的状态参量变化以及做功、吸放热和熵变的计算。题目开头明确规定了热量和做功均以进入系统为正，因此在运用热力学第一定律时应写为内能变化等于吸收的热量与外界对气体做功之和。状态1到状态2是绝热压缩，体积减半，通过泊松方程可以确定状态2的温度，此时气体与外界没有热交换，外界对气体做的功全部转化为气体内能的增加。状态2到状态3是等压膨胀过程，体积恢复到初始值，即体积翻了一倍，根据理想气体状态方程或查理定律可知此时温度也随之翻倍，该过程的吸热量可直接使用定压比热容与温度差的乘积来推导计算。在计算熵变时，绝热可逆过程的熵变为零，而等压和等容过程的熵变可通过对比热容除以温度进行积分得到结果。因为从状态1出发经历2和3又回到状态1构成了一个完整的热力学循环，作为状态函数的熵的单圈变化总量必定为零，所以我们可以观察到最后一步计算出的等容降压过程的熵变，刚好与前两步得到的总熵变之和互为相反数。第一问和第六问要求绘制的图像在标准p-V图上分别对应斜向左上的曲线、水平向右的直线和竖直向下的虚线。