0133-2024 関西工 数学 P117

线性代数 微积分 矩阵对角化 二重积分 麦克劳林展开

(1) 行列 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 2& 1\end{array}\right)$ に対して $T^{-1}AT$ が対角行列となるような行列 $T$ を見出し， $A$ を対角化せよ．

(2) 次の二重積分を求めよ．

$${\iint }_D\frac{dxdy}{x^2+y^2},D=\{(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le 9,x\ge 0\}$$

(3) 次の二変数関数 $f(x,y)$ についてマクローリン展開を二次の項まで求めよ．

$$f(x,y)=\log \sqrt[3]{(x-y+1{)}^2}$$

---

解答：

(1)

$$\begin{array}{rl}|A-\lambda I|& =\left|\begin{array}{ccc}2-\lambda & 62& 1-\lambda \end{array}\right|\\ & =(2-\lambda )(1-\lambda )-12\\ & ={\lambda }^2-3\lambda -10\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\lambda }^2-3\lambda -10& =(\lambda -5)(\lambda +2)\\ & =0\end{array}$$ $${\lambda }_1=5{\lambda }_2=-2$$ $$\begin{array}{rl}{\lambda }_1& =5\text{ のとき}(A-5I)\mathbf{x}=\left(\begin{array}{ccc}-3& 62& -4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}xy\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}00\end{array}\right)\\ ⟹{\mathbf{p}}_1& =\left(\begin{array}{c}21\end{array}\right)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\lambda }_2& =-2\text{ のとき}(A+2I)\mathbf{x}=\left(\begin{array}{ccc}4& 62& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}xy\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}00\end{array}\right)\\ ⟹{\mathbf{p}}_2& =\left(\begin{array}{c}3-2\end{array}\right)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}T& =\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{p}}_1& {\mathbf{p}}_2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2& 31& -2\end{array}\right)\end{array}$$ $$\boxed{T=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -2\end{array}\right),T^{-1}AT=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& -2\end{array}\right)}$$

(2)

$$x=r\cos \theta y=r\sin \theta \text{ とおく}$$ $$dxdy=rdrd\theta$$ $$\begin{array}{rlrlrl}D& & & & & \\ ⟹1& \le r\le 3,-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}& & & & \end{array}$$ $${\iint }_D\frac{dxdy}{x^2+y^2}={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\int }_1^3\frac{1}{r^2}rdrd\theta$$ $$={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}d\theta {\int }_1^3\frac{1}{r}dr$$ $$={\left[\theta \right]}_{-\pi /2}^{\pi /2}{\left[\log r\right]}_1^3$$ $$=\left(\frac{\pi }{2}-\left(-\frac{\pi }{2}\right)\right)(\log 3-\log 1)$$ $$\boxed{\pi \log 3}$$

(3)

$$f(x,y)=\frac{2}{3}\log (1+x-y)$$ $$\begin{array}{rlrlrl}\log (1+t)& =t-\frac{1}{2}{t}^2+O(t^3)(t\to 0)& & & & \end{array}$$ $$t=x-y\text{ とおく}$$ $$f(x,y)=\frac{2}{3}\left((x-y)-\frac{1}{2}(x-y{)}^2\right)+\text{高次の項}$$ $$=\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}(x^2-2xy+y^2)+\dots$$ $$\boxed{\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}{x}^2+\frac{2}{3}xy-\frac{1}{3}{y}^2}$$

---

第一题是线性代数中基础的矩阵对角化问题。求解思路是先算出矩阵的特征多项式并令其为零，解出矩阵的特征值。接着将特征值分别代入齐次线性方程组求出对应的特征向量。最后把这些特征向量按照列向量的形式拼合在一起构成可逆变换矩阵，而对角化后的对角线上对应位置的元素就是刚才求得的特征值。

第二题考察利用极坐标系计算二重积分的方法。观察积分区域是一个位于右半平面的半圆环，且被积函数的分母恰好是平方和结构，这就提示我们将其转换为极坐标会大大简化计算。做极坐标代换时必须注意面积微元需要补上雅可比行列式，也就是极径，之后分别定出角度和极径的积分上下限，拆分为两个独立的一元积分即可直接求解出结果。日本的微积分题目中常常不写自然对数的底数而直接用log表示ln。

第三题是求多元函数的麦克劳林展开式。严格来说可以通过计算该二元函数在原点的各阶偏导数来套用泰勒公式展开，但更为巧妙且降低出错率的作法是先用对数函数的性质将指数提取到前方化简函数，随后将内部的多项式视作一个整体变量，直接套用一元基本函数对数展开的形式。将变量代入展开式并仅保留到二次项进行化简，就可以得到该函数的二次麦克劳林多项式。