0132-2024 関西工 数学 P117

微分积分 高等数学 微积分 偏导数 不定积分 常微分方程

(1) 次の二変数関数$f(x,y)$について二次偏導関数$f_{yx}$を求めよ．

$$f(x,y)=\frac{y}{a^x}(a>0)$$

(2) 次の不定積分を求めよ．

$$\int \frac{x^2}{x^4-1}dx$$

(3) 次の二階微分方程式の一般解を求めよ．

$$y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=2x^2+1$$

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解答：

(1)

$$\begin{array}{rl}{f}_y(x,y)& =\frac{\partial }{\partial y}\left(y{a}^{-x}\right)\\ & =a^{-x}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{f}_{yx}(x,y)& =\frac{\partial }{\partial x}\left(a^{-x}\right)\\ & =-a^{-x}\ln a\end{array}$$ $$\boxed{f_{yx}=-\frac{\ln a}{a^x}}$$

(2)

$$\frac{x^2}{x^4-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x^2-1}+\frac{1}{x^2+1}\right)$$ $$\int \frac{x^2}{x^4-1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2-1}dx+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+1}dx$$ $$=\frac{1}{4}\int \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)dx+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+1}dx$$ $$=\frac{1}{4}\left(\ln |x-1|-\ln |x+1|\right)+\frac{1}{2}\arctan x+C$$ $$\boxed{\frac{1}{4}\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+\frac{1}{2}\arctan x+C(C\text{は積分定数})}$$

(3)

$$\begin{array}{rl}{\lambda }^2+\lambda -2& =0\\ ⟹\lambda & =1,-2\end{array}$$ $$y_c=C_1{e}^x+C_2{e}^{-2x}$$ $$y_p=A{x}^2+Bx+C$$ $$y_p^{\prime }=2Ax+B{y}_p^{\prime \prime }=2A$$ $$2A+(2Ax+B)-2(A{x}^2+Bx+C)=2x^2+1$$ $$-2A{x}^2+2(A-B)x+(2A+B-2C)=2x^2+1$$ $$A=-1B=-1C=-2$$ $$y_p=-x^2-x-2$$ $$\boxed{y=C_1{e}^x+C_2{e}^{-2x}-x^2-x-2(C_1,C_2\text{は任意定数})}$$

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第一题考察的是多元函数的二阶偏导数，解题时需要注意求导的顺序标识，通常先对y求导后再对x求偏导。求导过程中要记得指数函数底数不是e时，根据链式法则会产生一个自然对数的系数。第二题是典型的不定积分问题，核心在于使用部分分式分解法，将四次多项式的分母利用平方差公式拆解，再进一步裂项为一次和二次分式的和，最后分别套用对数函数以及反正切函数的基本积分公式即可得出答案。第三题求解二阶常系数非齐次线性微分方程，首先通过求解特征方程得出齐次方程的通解，由于等号右侧是一个二次多项式，因此可以通过待定系数法假设一个二次多项式作为特解，将特解的一阶和二阶导数代入原方程中对比系数，就能求出所有的未知常数，最终方程的一般解即为齐次通解与特解之和。