0131-2025 関西工 机械 P22

振动学 机械振动 多自由度系统

図２に２自由度振動系のモデルを示す．左右のばねのばね定数はそれぞれ $k_1,k_2$，剛体棒の質量は $m$，長さは $l$ である．剛体棒は一様で長さに比べて十分に細く，その重心において外力 $f$ が上向きに加えられている．剛体棒の重心の上向きの変位を $x$，重心を中心とする左回りの角変位を $\theta$，時刻を $t$ とする．変位 $x$ と角変位 $\theta$ はつり合いの位置を原点とする．角変位 $\theta$ は十分に小さく，$\sin \theta =\theta$ が成立し，高次の微小量は無視できるものとして，以下の設問に答えよ．
(1) 剛体棒の重心を通り，剛体棒に垂直な軸まわりの慣性モーメント $I$ を求めよ．
(2) 剛体棒の左端と右端の上向きの変位をそれぞれ $x_1,x_2$ とおく，$x_1,x_2$ を $x,\theta ,l$ を用いて表せ．
(3) 剛体棒の上下方向の並進の運動方程式を示せ．
(4) 剛体棒の回転の運動方程式を示せ．
(5) (3)と(4)で求めた運動方程式を行列とベクトルを用いてまとめよ．
(6) $m=3\text{ [kg]},l=2\text{ [m]},k_1=24\text{ [N/m]},k_2=9\text{ [N/m]}$ とする．このときの一次モードと二次モードの固有角振動数と固有振動モードを求めよ．

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解答：

(1)
剛体棒の線密度を $\rho =\frac{m}{l}$ とする。重心を原点とした積分により、

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_{-l/2}^{l/2}\rho r^{2}dr\\ & =\frac{m}{l}{\left[\frac{r^3}{3}\right]}_{-l/2}^{l/2}\\ & =\boxed{\frac{1}{12}m{l}^2}\end{array}$$

(2)
角変位 $\theta$ が微小であるため、端点の垂直方向の変位は弧長で近似できる。

$$x_1=\boxed{x-\frac{l}{2}\theta }$$ $$x_2=\boxed{x+\frac{l}{2}\theta }$$

(3)
ニュートンの運動方程式より、

$$m\ddot{x}=f-k_1{x}_1-k_2{x}_2$$

(2)の結果を代入する。

$$m\ddot{x}=f-k_1\left(x-\frac{l}{2}\theta \right)-k_2\left(x+\frac{l}{2}\theta \right)$$ $$\boxed{m\ddot{x}+(k_1+k_2)x-\frac{l}{2}(k_1-k_2)\theta =f}$$

(4)
オイラーの運動方程式より、反時計回りを正として重心周りのモーメントを考える。

$$I\ddot{\theta }=\frac{l}{2}(k_1{x}_1)-\frac{l}{2}(k_2{x}_2)$$

(2)の結果を代入する。

$$I\ddot{\theta }=\frac{l}{2}{k}_1\left(x-\frac{l}{2}\theta \right)-\frac{l}{2}{k}_2\left(x+\frac{l}{2}\theta \right)$$ $$\boxed{I\ddot{\theta }-\frac{l}{2}(k_1-k_2)x+\frac{l^2}{4}(k_1+k_2)\theta =0}$$

(5)
(3)および(4)を行列表記で整理する。

$$\boxed{\left[\begin{array}{cc}m& 0\\ 0& I\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\ddot{x}\\ \ddot{\theta }\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}{k}_1+k_2& -\frac{l}{2}(k_1-k_2)\\ -\frac{l}{2}(k_1-k_2)& \frac{l^2}{4}(k_1+k_2)\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}x\\ \theta \end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}f\\ 0\end{array}\right\}}$$

(6)
与えられた数値を代入する。

$$I=\frac{1}{12}\times 3\times 2^2=1$$

質量行列 $M=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$
剛性行列 $K=\left[\begin{array}{cc}24+9& -\frac{2}{2}(24-9)\\ -\frac{2}{2}(24-9)& \frac{4}{4}(24+9)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}33& -15\\ -15& 33\end{array}\right]$

固有角振動数 $\omega$ は特性方程式 $\det (K-{\omega }^{2}M)=0$ から求める。

$$\det \left[\begin{array}{cc}33-3{\omega }^2& -15\\ -15& 33-{\omega }^2\end{array}\right]=0$$ $$(33-3{\omega }^2)(33-{\omega }^2)-(-15{)}^2=0$$ $$3({\omega }^2-11)({\omega }^2-33)-225=0$$ $${\omega }^4-44{\omega }^2+288=0$$ $$({\omega }^2-8)({\omega }^2-36)=0$$

したがって、${\omega }^2=8,36$ となり、
固有角振動数：

$${\omega }_1=\boxed{2\sqrt{2}\text{ [rad/s]}}$$ $${\omega }_2=\boxed{6\text{ [rad/s]}}$$

${\omega }_1=2\sqrt{2}$ のときの固有振動モード ${\varphi }_1=\left\{\begin{array}{c}{u}_1\\ {\theta }_1\end{array}\right\}$ について、

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{ccc}33-3(8)& -15-15& 33-8\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{u}_1{\theta }_1\end{array}\right\}& =\left\{\begin{array}{c}00\end{array}\right\}\\ ⟹\left[\begin{array}{ccc}9& -15-15& 25\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{u}_1{\theta }_1\end{array}\right\}& =\left\{\begin{array}{c}00\end{array}\right\}\end{array}$$

$9u_1-15{\theta }_1=0⟹u_1:{\theta }_1=5:3$

$${\varphi }_1=\boxed{\left\{\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right\}}$$

${\omega }_2=6$ のときの固有振動モード ${\varphi }_2=\left\{\begin{array}{c}{u}_2\\ {\theta }_2\end{array}\right\}$ について、

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{ccc}33-3(36)& -15-15& 33-36\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{u}_2{\theta }_2\end{array}\right\}& =\left\{\begin{array}{c}00\end{array}\right\}\\ ⟹\left[\begin{array}{ccc}-75& -15-15& -3\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{u}_2{\theta }_2\end{array}\right\}& =\left\{\begin{array}{c}00\end{array}\right\}\end{array}$$

$-15u_2-3{\theta }_2=0⟹u_2:{\theta }_2=1:-5$

$${\varphi }_2=\boxed{\left\{\begin{array}{c}1\\ -5\end{array}\right\}}$$

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本题考察了两自由度系统的动力学建模与模态分析。前两问要求利用微小位移假设写出刚体杆两端与质心之间的几何位移关系，并计算均质细杆的转动惯量。随后通过对刚体进行受力分析，分别运用牛顿第二定律和欧拉方程建立平动与转动的微分方程。在写成矩阵形式后可以发现，系统的质量矩阵是对角的，而刚度矩阵中存在非对角元素，这意味着该系统存在静力学耦合，平动和转动会相互影响。最后一问将具体的参数代入矩阵中，通过求解广义特征值问题来获得系统的固有圆频率。将求得的特征值代回原方程提取出对应的特征向量，即为系统在此频率下振动的模态向量，结果体现了不同阶次下系统平动与转动的相对幅度关系。