0130-2025 関西工 机械 P22

振动学 机械振动 单自由度系统 受迫振动

【問１】　図１に示すように，質量$m$，粘性減衰係数$c$，ばね定数$k$の１自由度振動系がある．台車のつり合いの位置からの変位を$x$，外力を$f$，時刻を$t$とし，変位と外力は右向きを正の向きとする．以下の設問に答えよ．
(1) 運動方程式を示せ．
(2) 非減衰固有角振動数${\omega }_n$と減衰比$\zeta$を$m,c,k$を用いて表せ．
(3) 外力$f$の振幅を$F$，変位$x$の振幅を$X$として，コンプライアンス$X/F$を求めよ．ただし，加振角振動数は$\omega$とすること．
(4) 加振振動数比$\gamma (=\omega /{\omega }_n)$と減衰比$\zeta$を用いて無次元化したコンプライアンス$X/X_{st}$を表せ．ここで，$X_{st}=F/k$である．
(5) 横軸を$\gamma$，縦軸を$X/X_{st}$として，無次元化したコンプライアンスのグラフの概形を示せ．ただし，$\zeta =0.05$とし，$\gamma =0$と$\gamma =1$における$X/X_{st}$の値をグラフ中に明記すること．グラフは手描きでよい．

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解答：

(1)
ニュートンの運動方程式より、

$$\boxed{m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=f}$$

(2)
運動方程式を $m$ で割り、標準形 $\ddot{x}+2\zeta {\omega }_n\dot{x}+{\omega }_n^{2}x=f/m$ と比較する。

$$\begin{array}{rlrlr}{\omega }_n^2& =\frac{k}{m}& & & \\ ⟹\boxed{{\omega }_n=\sqrt{\frac{k}{m}}}& & & & \end{array}$$ $$\begin{array}{rlrlr}2\zeta {\omega }_n& =\frac{c}{m}& & & \\ ⟹\zeta & =\frac{c}{2m{\omega }_n}& & & \\ ⟹\boxed{\zeta =\frac{c}{2\sqrt{mk}}}& & & & \end{array}$$

(3)
外力 $f=F{e}^{i\omega t}$、定常応答 $x=X{e}^{i(\omega t-\varphi )}$ とおく。

$$(-m{\omega }^2+ic\omega +k)X{e}^{i(\omega t-\varphi )}=F{e}^{i\omega t}$$

両辺の振幅の大きさを比較する。

$$X\sqrt{(k-m{\omega }^2{)}^2+(c\omega {)}^2}=F$$ $$\boxed{\frac{X}{F}=\frac{1}{\sqrt{(k-m{\omega }^2{)}^2+(c\omega {)}^2}}}$$

(4)
$X_{st}=F/k$ より、

$$\begin{array}{rl}\frac{X}{X_{st}}& =\frac{kX}{F}\\ & =\frac{k}{\sqrt{(k-m{\omega }^2{)}^2+(c\omega {)}^2}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{(1-\frac{m}{k}{\omega }^2{)}^2+(\frac{c}{k}\omega {)}^2}}\end{array}$$

$\frac{m}{k}=\frac{1}{{\omega }_n^2}$、$\frac{c}{k}=\frac{c}{m{\omega }_n^2}=\frac{2\zeta {\omega }_n}{{\omega }_n^2}=\frac{2\zeta }{{\omega }_n}$ を代入する。

$$\frac{X}{X_{st}}=\frac{1}{\sqrt{{\left(1-{\left(\frac{\omega }{{\omega }_n}\right)}^2\right)}^2+{\left(2\zeta \frac{\omega }{{\omega }_n}\right)}^2}}$$

$\gamma =\omega /{\omega }_n$ を用いて整理する。

$$\boxed{\frac{X}{X_{st}}=\frac{1}{\sqrt{(1-{\gamma }^2{)}^2+(2\zeta \gamma {)}^2}}}$$

(5)
$\zeta =0.05$ を代入する。
$\gamma =0$ のとき、$\frac{X}{X_{st}}=\frac{1}{\sqrt{1^2+0}}=1$。
$\gamma =1$ のとき、$\frac{X}{X_{st}}=\frac{1}{\sqrt{0+(2\times 0.05{)}^2}}=\frac{1}{0.1}=10$。
グラフの概形は以下のようになる。