0128-2025 関西工 机械 P21

材料力学 剪力与弯矩图 截面几何性质 梁的挠度

【問１】　図1に示す真直はり（B，C点に集中荷重を受ける片持はり）について以下の問いに答えよ．ただし，A点を原点としてx軸とy軸を取り，はりの縦弾性係数をEとせよ．
(1) このはりのせん断力図（SFD）と曲げモーメント図（BMD）を描け．
(2) はりの断面が図のように，幅$a$，高さ$b$の長方形に，直径$d$の円形の穴（両図形の図心は一致している）があいている場合，断面2次モーメント$I$と断面係数$Z$を求めよ．導出過程も示すこと．
・以下では断面2次モーメントに$I$を用いよ．
(3) 曲げ応力の最大値とその$x$座標を求めよ．
(4) C点でのたわみを求めよ．

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解答：

(1)
はり全体の静力学的つり合いを考える。A点の上向きの反力を $R_A$、反時計回りの反力モーメントを $M_A$ とする。

$$\begin{array}{rl}\sum F_y& =-R_A+2P-P=0\\ ⟹R_A& =P(\text{上向き})\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\sum M_A& =-M_A+2P\cdot L-P\cdot 2L=0\\ ⟹M_A& =0\end{array}$$

任意の断面 $x$ におけるせん断力 $F(x)$ と曲げモーメント $M(x)$ を求める。

$$\text{SFDの式：}\boxed{\{\begin{array}{ll}F(x)=P& (0\le x<L)\\ F(x)=-P& (L<x\le 2L)\end{array}}$$ $$\text{BMDの式：}\boxed{\{\begin{array}{ll}M(x)=Px& (0\le x\le L)\\ M(x)=P(2L-x)& (L\le x\le 2L)\end{array}}$$

(2)
長方形の断面2次モーメント $I_{rect}$ と円の断面2次モーメント $I_{circle}$ はそれぞれ、

$$\begin{array}{rl}{I}_{rect}& =\frac{a{b}^3}{12}{I}_{circle}\\ & =\frac{\pi d^4}{64}\end{array}$$

図心は一致しているため、はりの断面2次モーメント $I$ は両者の差となる。

$$I=\boxed{\frac{a{b}^3}{12}-\frac{\pi d^4}{64}}$$

断面係数 $Z$ は、$I$ を図心から縁までの最大距離 $y_{max}=\frac{b}{2}$ で割ったものである。

$$\begin{array}{rl}Z& =\frac{I}{b/2}\\ & =\left(\frac{a{b}^3}{12}-\frac{\pi d^4}{64}\right)\frac{2}{b}\end{array}$$ $$Z=\boxed{\frac{a{b}^2}{6}-\frac{\pi d^4}{32b}}$$

(3)
(1)のBMDより、曲げモーメントの絶対値の最大値 $|M{|}_{max}$ は $x=L$ の位置で発生し、その値は $PL$ である。
したがって、最大曲げ応力 ${\sigma }_{max}$ は、

$${\sigma }_{max}=\boxed{\frac{PL}{Z}}$$

その $x$ 座標は、

$$x=\boxed{L}$$

(4)
重ね合わせの理（マクローリン展開または面積モーメント法と同等）を用いる。下向きを正のたわみ $y$ とする。
① C点に上向き荷重 $P$ が作用する場合のC点のたわみ $y_{C1}$：

$$\begin{array}{rl}{y}_{C1}& =\frac{(-P)(2L{)}^3}{3EI}\\ & =-\frac{8P{L}^3}{3EI}\end{array}$$

② B点に下向き荷重 $2P$ が作用する場合のC点のたわみ $y_{C2}$ は、B点のたわみとたわみ角による寄与の和となる：

$$\begin{array}{rl}{y}_{C2}& =\frac{(2P)L^3}{3EI}+\frac{(2P)L^2}{2EI}\cdot (2L-L)\\ & =\frac{2P{L}^3}{3EI}+\frac{P{L}^3}{EI}\\ & =\frac{5P{L}^3}{3EI}\end{array}$$

全体のたわみ $y_C$ はこれらの和となる。

$$\begin{array}{rl}{y}_C& =y_{C1}+y_{C2}\\ & =-\frac{8P{L}^3}{3EI}+\frac{5P{L}^3}{3EI}\end{array}$$ $$y_C=\boxed{-\frac{P{L}^3}{EI}}$$

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本题考察材料力学中悬臂梁的基本受力分析与变形计算。
第一问首先需要通过静力平衡条件求出固定端A的支座反力。计算发现A点反力矩恰好为零。由此可以利用截面法分段写出剪力和弯矩方程。这里以给出分段函数的形式代替了物理作图，函数清楚地表达了剪力图是两段矩形，弯矩图是顶点在中间的三角形。
第二问考察组合截面的几何性质。由于圆孔和外侧矩形的形心重合，无需使用平行轴定理，直接用矩形的截面二次轴矩减去圆形的截面二次轴矩即可求出 $I$。截面系数 $Z$ 则是用 $I$ 除以中性轴到外边缘的最大距离 $b/2$。
第三问利用第一问得到的弯矩方程可知最大弯矩发生在 $x=L$ 处，将其代入基本的弯曲应力公式 $\sigma =M/Z$ 即可得出。
第四问求悬臂梁端点挠度，使用叠加原理最为高效。将C点向上的集中力产生的挠度，与B点向下的集中力产生的挠度（包含B点处的挠度和B点处转角在C点引起的几何位移）进行代数叠加。注意题目图示坐标系规定 $y$ 轴向下为正，计算结果为负值代表梁端实际产生了向上的挠度。