0127-2025 関西工 机械 P20

流体力学 纳维-斯托克斯方程 平行平板间层流

図2のように距離$h$だけ離して平行に設置した無限に広い2枚の平板間の十分発達した定常層流を考える．重力の影響が無い場合，この流れの支配方程式は次式となる．

$$\frac{dp}{dx}=\mu \frac{d^{2}u}{d{y}^2}$$

ここで，$x$は流れ方向の座標，$y$は下側平板から垂直方向の距離，$u$は$x$軸方向の流速，$p$は圧力，$\mu$は流体の粘度(＝一定)であり，$z$軸に垂直な壁は無く，この流れは圧力勾配$dp/dx=$一定と扱える．以下の問いに答えよ．なお解答には問題で与えた記号を使え．
(1) 平板間の流速分布$u$の関数を示せ．なお平板上ですべり無しとせよ．
(2) 最高流速とその位置を示せ．
(3) $z$軸方向への板の幅を単位長さ($1\text{ m}$)として，平板間を流れる体積流量$Q$を示せ．
(4) 断面平均流速と最高流速の関係を示せ．
(5) 平板間の流体に生じる粘性せん断応力$\tau$の関数を示せ．

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解答：

(1)
支配方程式を$y$について2回積分する．

$$\frac{d^{2}u}{d{y}^2}=\frac{1}{\mu }\frac{dp}{dx}$$ $$\frac{du}{dy}=\frac{1}{\mu }\frac{dp}{dx}y+C_1$$ $$u=\frac{1}{2\mu }\frac{dp}{dx}{y}^2+C_{1}y+C_2(C_1,C_2\text{ は積分定数})$$

境界条件より，平板上($y=0$ および $y=h$)ですべり無しであるため，

$$\begin{array}{rl}u(0)& =0\\ ⟹C_2& =0\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}u(h)& =0\\ ⟹\frac{1}{2\mu }\frac{dp}{dx}{h}^2+C_{1}h& =0\\ ⟹C_1& =-\frac{h}{2\mu }\frac{dp}{dx}\end{array}$$

したがって，流速分布は

$$\boxed{u=\frac{1}{2\mu }\frac{dp}{dx}(y^2-hy)}$$

(2)
流速が最大となる位置では $\frac{du}{dy}=0$ となる．

$$\begin{array}{rl}\frac{du}{dy}& =\frac{1}{2\mu }\frac{dp}{dx}(2y-h)\\ & =0\end{array}$$ $$y=\frac{h}{2}$$

このとき，最高流速 $u_{max}$ は

$$u_{max}=\frac{1}{2\mu }\frac{dp}{dx}\left(\frac{h^2}{4}-\frac{h^2}{2}\right)$$ $$\text{位置：}\boxed{y=\frac{h}{2}}\text{最高流速：}\boxed{u_{max}=-\frac{h^2}{8\mu }\frac{dp}{dx}}$$

(3)
単位幅あたりの体積流量 $Q$ は，流速分布を断面全体で積分して求める．

$$Q={\int }_0^{h}u\cdot 1dy$$ $$Q={\int }_0^h\frac{1}{2\mu }\frac{dp}{dx}(y^2-hy)dy$$ $$Q=\frac{1}{2\mu }\frac{dp}{dx}{\left[\frac{y^3}{3}-\frac{h{y}^2}{2}\right]}_0^h$$ $$\begin{array}{rl}Q& =\frac{1}{2\mu }\frac{dp}{dx}\left(\frac{h^3}{3}-\frac{h^3}{2}\right)\\ & =\frac{1}{2\mu }\frac{dp}{dx}\left(-\frac{h^3}{6}\right)\end{array}$$ $$\boxed{Q=-\frac{h^3}{12\mu }\frac{dp}{dx}}$$

(4)
断面平均流速を $\bar{u}$ とすると，流路の断面積は $h\times 1$ であるため，

$$\begin{array}{rl}\bar{u}& =\frac{Q}{h\cdot 1}\\ & =-\frac{h^2}{12\mu }\frac{dp}{dx}\end{array}$$

(2)で求めた $u_{max}$ との比をとる．

$$\begin{array}{rl}\frac{\bar{u}}{u_{max}}& =\frac{-\frac{h^2}{12\mu }\frac{dp}{dx}}{-\frac{h^2}{8\mu }\frac{dp}{dx}}\\ & =\frac{8}{12}\\ & =\frac{2}{3}\end{array}$$ $$\boxed{\bar{u}=\frac{2}{3}{u}_{max}}$$

(5)
ニュートンの粘性法則 $\tau =\mu \frac{du}{dy}$ を用いる．

$$\tau =\mu \left(\frac{1}{2\mu }\frac{dp}{dx}(2y-h)\right)$$ $$\boxed{\tau =\frac{1}{2}\frac{dp}{dx}(2y-h)}$$

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本题考察的是流体力学中非常经典的二维平面泊肃叶流动（Plane Poiseuille flow）。题目已经将纳维-斯托克斯方程化简为一维的常微分方程形式。作答的核心在于通过对控制方程进行两次积分，并代入上下平行平板处的无滑移边界条件（即流体在壁面处速度为零），从而求得呈抛物线分布的速度剖面。求出速度分布后，对其求导并令导数为零即可找到最大速度出现的位置在两板正中间。流量通过对速度剖面进行定积分求得，用流量除以截面积得到平均速度。这里可以发现二维泊肃叶流的平均速度是最大速度的三分之二，这与圆管内三维泊肃叶流中二分之一的比例关系不同，是这类题目的常见考点。最后，利用牛顿内摩擦定律，将速度对坐标的导数乘以动力粘度，即可直接得到呈线性分布的剪切应力表达式。