0126-2025 関西工 机械 P20

流体力学 伯努利方程 动量守恒定理 波达-卡诺损失

図のように水平に設置した断面積 $A_1$ と $A_2$ (ただし $A_1<A_2$) の円管を繋いだ急拡大管の流れを1次元的に取り扱う．この管路では，流れのはく離によって圧力損失 $\Delta p(>0)$ が生じる．密度 $\rho$ (＝一定) の流体が定常的に流れており，管壁での摩擦は無いとして，以下の問いに答えよ．なお，各断面の流速を $u$, 圧力を $p$, 管断面積を $A$, 下付添字 1, 2, 3 は断面位置①, ②, ③, マノメータ液の密度を ${\rho }_m$, マノメータの水頭差を $\Delta h$, マノメータ基準位置から急拡大管までの高さを $H$, 重力加速度を $g$ で表す．
(1) 断面①と②の圧力差 $p_1-p_2$ を $\rho ,{\rho }_m,g,\Delta h$ を使って示せ．
(2) 断面①と②の体積流量 $Q_1,Q_2$ と質量流量 ${\dot{m}}_1,{\dot{m}}_2$ を $\rho ,A_1,A_2,u_1,u_2$ を使って示せ．
(3) $u_2$ を $A_1,A_2,u_1$ を使って示せ．
(4) 圧力損失 $\Delta p$ を考慮して，断面①と②の間に対するベルヌーイの式を示せ．
(5) 図中のハッチング部を検査体積として，検査体積に対する流れ方向の運動量保存則を $\rho ,A_1,A_2,u_1,u_2,p_1,p_2,p_3$ を使って示せ．
(6) (4)と(5)から，$\Delta p$ を $\rho ,u_1,A_1,A_2$ を使って示せ．ただし，$p_3\fallingdotseq p_1$ と近似できるとする．

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解答：

(1)
マノメータの低位側液面における力の釣り合いより、

$$p_1+\rho gH+{\rho }_{m}g\Delta h=p_2+\rho g(H+\Delta h)$$ $$p_1-p_2=\boxed{(\rho -{\rho }_m)g\Delta h}$$

(2)

$$Q_1=\boxed{A_1{u}_1}$$ $$Q_2=\boxed{A_2{u}_2}$$ $${\dot{m}}_1=\boxed{\rho A_1{u}_1}$$ $${\dot{m}}_2=\boxed{\rho A_2{u}_2}$$

(3)
質量保存則（${\dot{m}}_1={\dot{m}}_2$）より、

$$\rho A_1{u}_1=\rho A_2{u}_2$$ $$u_2=\boxed{\frac{A_1}{A_2}{u}_1}$$

(4)
水平管であるため位置水頭の差はゼロとなる。

$$\boxed{p_1+\frac{1}{2}\rho u_1^2=p_2+\frac{1}{2}\rho u_2^2+\Delta p}$$

(5)
検査体積に働く流動方向の圧力による力と、流出入する運動量の変化量の関係より、

$$\boxed{p_1{A}_1+p_3(A_2-A_1)-p_2{A}_2=\rho A_2{u}_2^2-\rho A_1{u}_1^2}$$

(6)
(5)の式に $p_3\fallingdotseq p_1$ を代入して整理する。

$$p_1{A}_2-p_2{A}_2=\rho A_2{u}_2^2-\rho A_1{u}_1^2$$ $$p_1-p_2=\rho u_2^2-\rho \frac{A_1}{A_2}{u}_1^2$$

これを(4)の式に代入する。

$$\Delta p=(p_1-p_2)+\frac{1}{2}\rho u_1^2-\frac{1}{2}\rho u_2^2$$ $$\Delta p=\left(\rho u_2^2-\rho \frac{A_1}{A_2}{u}_1^2\right)+\frac{1}{2}\rho u_1^2-\frac{1}{2}\rho u_2^2$$ $$\Delta p=\frac{1}{2}\rho u_2^2-\rho \frac{A_1}{A_2}{u}_1^2+\frac{1}{2}\rho u_1^2$$

(3)より $u_2=\frac{A_1}{A_2}{u}_1$ を代入する。

$$\Delta p=\frac{1}{2}\rho {\left(\frac{A_1}{A_2}{u}_1\right)}^2-\rho \frac{A_1}{A_2}{u}_1^2+\frac{1}{2}\rho u_1^2$$ $$\Delta p=\frac{1}{2}\rho u_1^2\left\{{\left(\frac{A_1}{A_2}\right)}^2-2\frac{A_1}{A_2}+1\right\}$$ $$\Delta p=\boxed{\frac{1}{2}\rho u_1^2{\left(1-\frac{A_1}{A_2}\right)}^2}$$

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本题是一个非常经典的流体力学综合推导题，旨在引导推导管道截面突然扩大时产生的波达-卡诺（Borda-Carnot）局部水头损失公式。题目不仅考察了连续性方程、引入了水头损失项的伯努利方程以及控制体动量守恒方程，还结合了U型管静压计的读数原理。

在解读U型管静压计图示时需要注意，由于流体在突然扩大后流速急剧下降，动压转化为静压，导致截面2的静压大于截面1的静压，因此右侧的测压管液面会被压得更低，从而在列静力学平衡方程时得出的压差实质上是一个负值。推导过程的核心在于运用动量方程时，合理地选取图中的阴影部分作为控制体，并利用突扩死水区的经验假设，即环形死水区的压力近似等于上游管道出口压力，将三个受力面的压力统一，进而结合连续性方程消去多余变量，最后带入伯努利方程即可得到仅与流速和面积比相关的纯代数表达式。