0125-2025 関西工 机械 P19

力学 工程热力学 斯特林循环 理想气体

下図は，等温変化と等容変化で構成される，スターリングサイクルの $p-v$ 線図である．等容放熱過程の熱量 $\Delta q_{41}$ を等容吸熱過程の熱量 $\Delta q_{23}$ に可逆的に用いることができれば，カルノーサイクルと同じ熱効率が得られる．以下の問いに答えよ．なお，(2) 以降の解答は，ガス定数 $R_g$，比体積 ($v_1\sim v_4$)，温度 ($T_1\sim T_4$，もしくは高温側温度 $T_H$，低温側温度 $T_L$) を用いて示すこと．
(1) スターリングサイクルの $T-s$ 線図の概略図を描け．なお，$p-v$ 線図に対応させて状態 1〜4 の番号を付記せよ．
(2) 等温吸熱過程での作動流体単位質量当たりの仕事を求めよ．
(3) 等温放熱過程での作動流体単位質量当たりの放熱量を求めよ．
(4) 等容吸熱過程と等容放熱過程の熱量の和がゼロになることを示せ．
(5) スターリングサイクルの熱効率がカルノーサイクルの熱効率と一致することを示せ．

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解答：

(1)
$T-s$ 平面において、以下の4つの過程で構成される閉曲線となる。

$$\begin{array}{rlrlrl}1& & & & & \\ \to 2:T& =T_L\text{上の水平線（左向き）}& & & & \end{array}$$ $$\begin{array}{rlrlrl}2& & & & & \\ \to 3:\text{右上がりの曲線（等容加熱）}& & & & & \end{array}$$ $$\begin{array}{rlrlrl}3& & & & & \\ \to 4:T& =T_H\text{上の水平線（右向き）}& & & & \end{array}$$ $$\begin{array}{rlrlrl}4& & & & & \\ \to 1:\text{左下がりの曲線（等容冷却）}& & & & & \end{array}$$

（※状態1が右下、状態2が左下、状態3が左上、状態4が右上）

(2)
等温吸熱過程は $3\to 4$ であり、$T_3=T_4=T_H$ である。

$$\begin{array}{rl}{w}_{34}& ={\int }_{v_3}^{v_4}pdv\\ & ={\int }_{v_3}^{v_4}\frac{R_g{T}_H}{v}dv\\ & =\boxed{R_g{T}_H\ln \frac{v_4}{v_3}}\end{array}$$

(3)
等温放熱過程は $1\to 2$ であり、$T_1=T_2=T_L$ である。外部への放熱量を正とする。

$$\begin{array}{rl}{q}_{out}& =-{\int }_{v_1}^{v_2}pdv\\ & =-{\int }_{v_1}^{v_2}\frac{R_g{T}_L}{v}dv\\ & =\boxed{R_g{T}_L\ln \frac{v_1}{v_2}}\end{array}$$

(4)
等容過程 ($dv=0$) において、熱力学第一法則より $dq=du$ である。
理想気体の内部エネルギーは温度のみの関数 $u(T)$ である。

$$T_1=T_2=T_L{T}_3=T_4=T_H$$ $$\begin{array}{rl}\Delta q_{23}& ={\int }_{T_2}^{T_3}du\\ & =u(T_H)-u(T_L)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\Delta q_{41}& ={\int }_{T_4}^{T_1}du\\ & =u(T_L)-u(T_H)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\Delta q_{23}+\Delta q_{41}& =\{u(T_H)-u(T_L)\}+\{u(T_L)-u(T_H)\}\\ & =0\text{(証明終)}\end{array}$$

(5)
等容変化の条件より、$v_2=v_3$、$v_1=v_4$ であるため、

$$\frac{v_4}{v_3}=\frac{v_1}{v_2}$$

等容過程の熱量は再生器によって完全に内部で授受されるため、サイクル外部との熱の出入りは等温過程のみとなる。
外部からの総吸熱量 $q_{in}$ と総放熱量 $q_{out}$ は、

$$q_{in}=w_{34}=R_g{T}_H\ln \frac{v_4}{v_3}$$ $$q_{out}=R_g{T}_L\ln \frac{v_1}{v_2}$$

サイクルの熱効率 $\eta$ は、

$$\begin{array}{rl}\eta & =1-\frac{q_{out}}{q_{in}}\\ & =1-\frac{R_g{T}_L\ln \left(\frac{v_1}{v_2}\right)}{R_g{T}_H\ln \left(\frac{v_4}{v_3}\right)}\end{array}$$

ここで $\ln (v_4/v_3)=\ln (v_1/v_2)$ を代入すると、

$$\eta =1-\frac{T_L}{T_H}$$

となり、カルノーサイクルの熱効率と一致する。(証明終)

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本题主要考察理想气体斯特林循环的热力学过程及其与卡诺循环在热效率上的等效性证明。斯特林循环由两个等温过程和两个等容过程组成，其核心特征在于回热器的使用。在等容过程中，理想气体的内能变化仅取决于温度变化，因此等容升温阶段吸收的热量与等容降温阶段放出的热量大小相等、符号相反。如果假设回热器是理想的，即等容放热过程释放的热量被完全无损耗地用于等容吸热过程，那么整个系统与外界的热量交换就只发生在高温热源和低温热源的等温过程中。利用做功的积分公式求出等温过程的热量交换后，带入热效率定义式中，由于等容体积边界相同对数项可以直接约去，最终自然推导出仅与两个热源温度相关的卡诺效率公式。