0124-2025 関西工 机械 P19

力学 工程热力学 卡诺循环 理想气体

下図は, 2原子分子の理想気体を作動流体とする原動機サイクルの $T-s$ 線図である. 以下の問いに答えよ. (3) 以降の解答は温度 ($T_H$, $T_L$), 各状態での比体積 ($v_1\sim v_4$) ならびにガス定数 $R_g$ を用いて示すこと.
(1) このサイクルの $p-v$ 線図の概略図を描け. なお, $T-s$ 線図に対応させて状態 $1\sim 4$ の番号を付記せよ.
(2) このサイクルの名称を答えよ.
(3) このサイクルの熱効率を示せ.
(4) このサイクルで正味発生する仕事を変化させずに放熱量を半分にした. この時の高温の温度 $T_H^{\prime }$ を求めよ. なお, 1 の状態 ($T_1(=T_L)$, $v_1$, $p_1$) は同一とする.
(5) (4) のサイクルにおける作動流体単位質量当たりの放熱量を求めよ.
(6) (4) のサイクルにおける放熱過程の比エントロピー変化量を求めよ.
(7) (4) のサイクルにおける断熱圧縮過程の作動流体単位質量当たりの仕事を求めよ.

---

解答：

(1)
$p-v$平面において、以下の4つの過程で囲まれた閉曲線となる。

• 状態 $1\to 2$: 等温圧縮 ($pv=R_g{T}_L$)
• 状態 $2\to 3$: 断熱圧縮 ($p{v}^{\kappa }=\mathrm{const}$)
• 状態 $3\to 4$: 等温膨張 ($pv=R_g{T}_H$)
• 状態 $4\to 1$: 断熱膨張 ($p{v}^{\kappa }=\mathrm{const}$)
  （状態1が右下、状態2が左下、状態3が左上、状態4が右上に位置する）

(2)

$$\boxed{\text{カルノーサイクル}}$$

(3)

$$\boxed{\eta =1-\frac{T_L}{T_H}}$$

(4)
元のサイクルの仕事 $w$ と放熱量 $q_L$ の関係は、$\eta =\frac{w}{w+q_L}=1-\frac{T_L}{T_H}$ より

$$q_L=w\frac{T_L}{T_H-T_L}$$

新しいサイクルにおいて、仕事 $w^{\prime }=w$、放熱量 $q_L^{\prime }=\frac{1}{2}{q}_L$ となる。

$$\begin{array}{rl}{q}_L^{\prime }& =w^{\prime }\frac{T_L}{T_H^{\prime }-T_L}\\ ⟹\frac{1}{2}w\frac{T_L}{T_H-T_L}& =w\frac{T_L}{T_H^{\prime }-T_L}\end{array}$$ $$\frac{1}{2(T_H-T_L)}=\frac{1}{T_H^{\prime }-T_L}$$ $$T_H^{\prime }-T_L=2T_H-2T_L$$ $$\boxed{T_H^{\prime }=2T_H-T_L}$$

(5)
状態 $1\to 2$ は等温過程（$dT=0$）であるため、$ds=c_v\frac{dT}{T}+R_g\frac{dv}{v}=R_g\frac{dv}{v}$。
元のサイクルの放熱量 $q_L$ (正の値) は、

$$\begin{array}{rl}{q}_L& ={\int }_2^1{T}_{L}ds\\ & =T_L(s_1-s_2)\\ & =R_g{T}_L\ln \frac{v_1}{v_2}\end{array}$$

新しいサイクルの放熱量 $q_L^{\prime }$ はその半分であるため、

$$\boxed{q_L^{\prime }=\frac{1}{2}{R}_g{T}_L\ln \frac{v_1}{v_2}}$$

(6)
放熱過程は $1\to 2^{\prime }$ であり、系から熱が放出されるためエントロピーは減少する。

$$q_L^{\prime }=-{\int }_1^{2^{\prime }}{T}_{L}ds=-T_L\Delta s^{\prime }$$ $$\begin{array}{rl}\Delta s^{\prime }& =-\frac{q_L^{\prime }}{T_L}\\ & =\boxed{-\frac{1}{2}{R}_g\ln \frac{v_1}{v_2}}\end{array}$$

(7)
2原子分子理想気体の定容比熱は $c_v=\frac{5}{2}{R}_g$ である。
断熱過程（$2^{\prime }\to 3^{\prime }$）における作動流体の仕事 $w_c$ は、熱力学第一法則（$dq=du+dw=0$）より、

$$w_c=-\Delta u=-c_v(T_H^{\prime }-T_L)$$

(4)の結果 $T_H^{\prime }=2T_H-T_L$ を代入する。

$$\begin{array}{rl}{w}_c& =-\frac{5}{2}{R}_g(2T_H-T_L-T_L)\\ & =-\frac{5}{2}{R}_g(2T_H-2T_L)\end{array}$$ $$\boxed{w_c=5R_g(T_L-T_H)}$$

（※絶対値として圧縮に必要な仕事を求める場合は $5R_g(T_H-T_L)$ となる）

---

本题主要考察理想气体卡诺循环在 $T-s$ 图和 $p-v$ 图上的对应关系以及热力学基本计算。
在解决第(4)问时，利用卡诺循环热效率公式 $\eta =1-\frac{T_L}{T_H}=\frac{W}{W+Q_L}$ 建立循环净功与放热量的关系，在净功不变的约束条件下代入变化后的放热量，即可轻松解出新的高温热源温度。
第(5)、(6)问考查了等温过程中热量与比体积变化的对数关系。由于等温过程内能不变，放出的热量完全等于外界对气体做的功，可以直接由 $R_g{T}_L\ln (v_1/v_2)$ 得出。
第(7)问的陷阱在于必须识别出“双原子分子”这一关键信息，其定容比热容 $c_v=\frac{5}{2}{R}_g$。断热压缩过程的功直接等于内能的负变化量（以系统对外做功为正），结合第(4)问求出的新高温温度即可求出结果。