0123-2025 関西工 数学 P18

微分积分 单变量微积分 常微分方程

(1) 次の関数の導関数を求めよ．

$$f(x)={\sin }^{-1}{\tan }^{-1}\frac{1}{x}$$

(2) 次の不定積分を $x=\tan t$ と置くことで求めよ．

$$\int \frac{2}{(x^2+1{)}^2}dx$$

(3) 次の微分方程式の一般解を求めよ．

$$(x+y)y^{\prime }=-x+y$$

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解答：

(1)
合成関数の微分法を用いる。

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-{\left({\tan }^{-1}\frac{1}{x}\right)}^2}}\cdot \frac{d}{dx}\left({\tan }^{-1}\frac{1}{x}\right)$$ $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-{\left({\tan }^{-1}\frac{1}{x}\right)}^2}}\cdot \frac{1}{1+{\left(\frac{1}{x}\right)}^2}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)$$ $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-{\left({\tan }^{-1}\frac{1}{x}\right)}^2}}\cdot \frac{x^2}{x^2+1}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)$$ $$f^{\prime }(x)=\boxed{-\frac{1}{(x^2+1)\sqrt{1-{\left({\tan }^{-1}\frac{1}{x}\right)}^2}}}$$

(2)
$x=\tan t$ より、

$$dx=\frac{1}{{\cos }^{2}t}dt$$

与えられた不定積分を $I$ とおくと、

$$I=\int \frac{2}{({\tan }^{2}t+1{)}^2}\frac{1}{{\cos }^{2}t}dt$$

$1+{\tan }^{2}t=\frac{1}{{\cos }^{2}t}$ であるから、

$$I=\int \frac{2}{{\left(\frac{1}{{\cos }^{2}t}\right)}^2}\frac{1}{{\cos }^{2}t}dt$$ $$I=\int 2{\cos }^{2}tdt$$ $$I=\int (1+\cos 2t)dt$$ $$I=t+\frac{1}{2}\sin 2t+C(C\text{は積分定数})$$ $$I=t+\sin t\cos t+C$$

ここで、$x=\tan t$ より $t={\tan }^{-1}x$ であり、$\sin t\cos t=\frac{\tan t}{1+{\tan }^{2}t}=\frac{x}{1+x^2}$ であるから、

$$I=\boxed{{\tan }^{-1}x+\frac{x}{x^2+1}+C(C\text{は積分定数})}$$

(3)
与式は同次形微分方程式であるため、次のように変形する。

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\frac{-x+y}{x+y}\\ & =\frac{-1+\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}}\end{array}$$

$u=\frac{y}{x}$ とおくと、$y=ux$ であり、

$$y^{\prime }=u^{\prime }x+u$$

したがって、

$$u^{\prime }x+u=\frac{u-1}{u+1}$$ $$u^{\prime }x=\frac{u-1}{u+1}-u=\frac{-u^2-1}{u+1}$$

変数分離形として変形し、両辺を積分する。

$$\int \frac{u+1}{u^2+1}du=\int -\frac{1}{x}dx$$ $$\int \frac{u}{u^2+1}du+\int \frac{1}{u^2+1}du=-\log |x|+C(C\text{は任意定数})$$ $$\frac{1}{2}\log (u^2+1)+{\tan }^{-1}u=-\log |x|+C$$

$u=\frac{y}{x}$ を代入する。

$$\frac{1}{2}\log \left({\left(\frac{y}{x}\right)}^2+1\right)+{\tan }^{-1}\frac{y}{x}=-\log |x|+C$$ $$\frac{1}{2}\log \left(\frac{x^2+y^2}{x^2}\right)+{\tan }^{-1}\frac{y}{x}=-\log |x|+C$$ $$\frac{1}{2}\log (x^2+y^2)-\log |x|+{\tan }^{-1}\frac{y}{x}=-\log |x|+C$$ $$\boxed{\frac{1}{2}\log (x^2+y^2)+{\tan }^{-1}\frac{y}{x}=C(C\text{は任意定数})}$$

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本题涵盖了一元微积分和常微分方程的几个核心考点。第一小题主要考察反三角函数的导数公式以及复合函数的链式法则，需要依次对外层的反正弦函数、中间的反正切函数以及最内层的倒数进行求导并相乘，化简时注意提取平方项公因式进行抵消。第二小题是典型的三角换元积分法，通过将变量代换为正切函数，利用三角恒等式将复杂的分式积分转化为简单的余弦函数偶次幂积分，随后利用二倍角降幂公式完成积分，最后再通过原有的三角函数和反三角函数关系将变量还原回x的形式。第三小题求解的是一阶齐次微分方程，通过将方程改写为只含导数和两个变量比值的形式，并引入新的变量代替这个比值，即可将原方程转化为可分离变量的微分方程，等式两侧分别积分后代回原变量，再利用对数法则化简绝对值和分式，最终得到隐函数形式的通解。