0121-2025 横国工 机械 P66

控制学 控制工程 自动控制原理

Fig. 1のブロック線図で表される閉ループ制御系について考える．ただし，$t$は時刻，$s$はラプラス変数を表し，$Y(s)$，$R(s)$はそれぞれ$y(t)$，$r(t)$のラプラス変換とする．また，$K_1$，$K_2$は正の定数とする．

1. 閉ループ伝達関数$W(s)=Y(s)/R(s)$を求めよ．
2. 閉ループ伝達関数$W(s)$の減衰係数$\zeta$および固有角周波数${\omega }_n$を求めよ．
3. Fig. 2で表現される入力$r(t)$を加えたときの時間応答$y(t)$のうち，$t\ge 1$の時間領域における時間応答を$y(t)=\alpha (t)e^{-t}(t\ge 1)$とおくとき，この時間関数$\alpha (t)$を求めよ．ただし，$K_1=1$，$K_2=2$とする．
4. 閉ループ伝達関数$W(s)$のゲイン線図(折れ線近似)を，Fig. 3(a)～(d)の中から選べ．ただし，$K_1=10$，$K_2=11$とする．
   

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解答：

内側のループの伝達関数を求める．

$$\begin{array}{rl}{G}_{in}(s)& =\frac{\frac{1}{s}}{1+K_2\frac{1}{s}}\\ & =\frac{1}{s+K_2}\end{array}$$

全体の閉ループ伝達関数$W(s)$を求める．

$$\begin{array}{rl}W(s)& =\frac{\frac{K_1}{s}{G}_{in}(s)}{1+\frac{K_1}{s}{G}_{in}(s)}\\ & =\frac{\frac{K_1}{s(s+K_2)}}{1+\frac{K_1}{s(s+K_2)}}\end{array}$$ $$\boxed{W(s)=\frac{K_1}{s^2+K_{2}s+K_1}}$$

標準的な2次系の伝達関数と比較する．

$$W(s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$

分母多項式の係数比較により，

$${\omega }_n^2=K_1$$ $$2\zeta {\omega }_n=K_2$$

$K_1,K_2>0$ より，

$$\boxed{{\omega }_n=\sqrt{K_1},\zeta =\frac{K_2}{2\sqrt{K_1}}}$$

$K_1=1,K_2=2$ のとき，

$$W(s)=\frac{1}{s^2+2s+1}=\frac{1}{(s+1{)}^2}$$

入力$r(t)$は単位階段関数$u(t)$を用いて次のように表される．

$$r(t)=u(t)-u(t-1)$$

ラプラス変換すると，

$$R(s)=\frac{1}{s}-\frac{e^{-s}}{s}$$

出力$Y(s)$は，

$$\begin{array}{rl}Y(s)& =W(s)R(s)\\ & =\frac{1}{s(s+1{)}^2}-\frac{e^{-s}}{s(s+1{)}^2}\end{array}$$

第一項を部分分数分解する．

$$\frac{1}{s(s+1{)}^2}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1{)}^2}$$

逆ラプラス変換により，$y_1(t)={\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{s(s+1{)}^2}\right\}$ は，

$$y_1(t)=(1-e^{-t}-t{e}^{-t})u(t)$$

全体の時間応答$y(t)$は，

$$y(t)=y_1(t)-y_1(t-1)$$

$t\ge 1$ の領域では $u(t)=1,u(t-1)=1$ であるため，

$$y(t)=(1-e^{-t}-t{e}^{-t})-\{1-e^{-(t-1)}-(t-1)e^{-(t-1)}\}$$ $$y(t)=-e^{-t}-t{e}^{-t}+e\cdot e^{-t}+(t-1)e\cdot e^{-t}$$ $$y(t)=\{-1-t+e+e(t-1)\}{e}^{-t}$$ $$y(t)=\{(e-1)t-1\}{e}^{-t}$$

$y(t)=\alpha (t)e^{-t}$ より，

$$\boxed{\alpha (t)=(e-1)t-1}$$

$K_1=10,K_2=11$ のとき，

$$\begin{array}{rl}W(s)& =\frac{10}{s^2+11s+10}\\ & =\frac{10}{(s+1)(s+10)}\\ & =\frac{1}{(s+1)(0.1s+1)}\end{array}$$

直流ゲインは $W(0)=1$ であり，$20{\log }_{10}(1)=0$ [dB] である．
また，折れ点角周波数は ${\omega }_1=1$ [rad/s] と ${\omega }_2=10$[rad/s] である．
$\omega <1$ でゲインは 0 dB (傾き 0 dB/dec)．
$1<\omega <10$ で傾きは -20 dB/dec となり，$\omega =10$ のとき -20 dB．
$\omega >10$ で傾きは -40 dB/dec となる．
この漸近線特性に一致するのは (a) である．

$$\boxed{\text{(a)}}$$

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这道题综合考察了自动控制原理中的几个核心知识点。第一问是基础的控制系统方框图化简，可以通过逐步化简内环再化简外环得到，熟练的话也可以直接应用梅森增益公式得出闭环传递函数。第二问考察了标准二阶系统的特征方程形式，通过对比分母多项式的各项系数，即可直接解出系统的无阻尼自然频率和阻尼比。第三问涉及线性系统的时域响应计算，图中的方波输入信号可以看作是一个正向的单位阶跃信号与一个延迟了1秒的负向单位阶跃信号的叠加。将传递函数代入参数后得到一个临界阻尼系统，求出该系统对单位阶跃信号的响应后，利用线性系统的叠加原理和时移性质即可得到总响应。在提取大于等于1秒区间的解析式时，注意将底数$e$合并进系数多项式中进行化简。第四问是绘制伯德图中的幅频特性渐近线，将参数代入后分解因式，可以发现系统是一个包含两个实极点的过阻尼系统。计算出系统的直流增益为0dB，并且两个极点分别对应1和10两个转折频率，在转折频率处斜率依次发生改变，对照给出的四幅图即可很容易地筛选出正确的选项。