0119-2025 横国工 机械 P63

材料力学 悬臂梁 叠加原理

（１）図1に示すような長さ$2L$の片持ちはり ABCを考える．はりの中央部 Bに集中荷重$P$が作用しているとき，先端 Cのたわみ${\delta }_1$を求めよ．ここに，はりの曲げ剛性は $EI$ である．

（２）図2に示すような長さ$2L$の片持ちはり ABCを考える．はりの中央部 Bおよび先端 Cに集中荷重$P$および$R$がそれぞれ作用しているとき，中央部 Bのたわみ${\delta }_2$と先端 Cのたわみ${\delta }_3$を求めよ．ここに，はりの曲げ剛性は $EI$ である．

（３）図3に示すように，片持ちはり ABCと片持ちはり CDが C点においてピンで水平に連結されている．ここに，AB間，BC間および CD間の長さは $L$ である．また，両はりの曲げ剛性はともに $EI$ である．はり ABCの B点に集中荷重$P$が作用しているとき，結合点 Cの鉛直方向反力の大きさ$|R_C|$を求めよ．また，集中荷重の作用点 Bのたわみ${\delta }_B$を求めよ．ただし，たわみ${\delta }_B$の解答に$R_C$を用いてはいけない．なお，ピン結合点 Cでは，はり ABCとはり CDが相互に力のみを及ぼし合っており，ピンの軸回りの回転は拘束されない．

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解答：

下向きの変位を正とする．

（１）
B点のたわみ $v_B$ およびたわみ角 ${\theta }_B$ は次式となる．

$$v_B=\frac{P{L}^3}{3EI}{\theta }_B=\frac{P{L}^2}{2EI}$$

区間BCには曲げモーメントが作用せず直線となるため，C点のたわみ ${\delta }_1$ は，

$$\begin{array}{rl}{\delta }_1& =v_B+{\theta }_{B}L\\ & =\frac{P{L}^3}{3EI}+\frac{P{L}^2}{2EI}L\end{array}$$ $$\boxed{{\delta }_1=\frac{5P{L}^3}{6EI}}$$

（２）
重ね合わせの理を用いる．
先端Cにおける上向き荷重$R$による，固定端から距離$x$の点のたわみは $v_R(x)=-\frac{R{x}^2}{6EI}(3\cdot 2L-x)$ である．
$x=L$（B点）のとき，

$$\begin{array}{rl}{v}_R(L)& =-\frac{R{L}^2}{6EI}(6L-L)\\ & =-\frac{5R{L}^3}{6EI}\end{array}$$

したがって，B点のたわみ ${\delta }_2$ は，

$${\delta }_2=v_B+v_R(L)$$ $$\boxed{{\delta }_2=\frac{P{L}^3}{3EI}-\frac{5R{L}^3}{6EI}}$$

C点（$x=2L$）のたわみ ${\delta }_3$ は，

$$\begin{array}{rl}{\delta }_3& ={\delta }_1+v_R(2L)\\ & =\frac{5P{L}^3}{6EI}-\frac{R(2L{)}^3}{3EI}\end{array}$$ $$\boxed{{\delta }_3=\frac{5P{L}^3}{6EI}-\frac{8R{L}^3}{3EI}}$$

（３）
C点において，はりABCからはりCDへ下向きに力 $R_C$ が作用すると仮定する．作用反作用の法則により，はりABCはC点で上向きの力 $R_C$ を受ける．
はりCDにおけるC点のたわみ ${\delta }_{C,CD}$ は，

$${\delta }_{C,CD}=\frac{R_C{L}^3}{3EI}$$

はりABCにおけるC点のたわみは，（２）の ${\delta }_3$ にて $R=R_C$ としたものに等しいため，適合条件（${\delta }_3={\delta }_{C,CD}$）より，

$$\frac{5P{L}^3}{6EI}-\frac{8R_C{L}^3}{3EI}=\frac{R_C{L}^3}{3EI}$$ $$\frac{5P}{6}=\frac{9R_C}{3}=3R_C$$ $$\boxed{|R_C|=\frac{5P}{18}}$$

${\delta }_B$ は（２）の ${\delta }_2$ に $R=R_C$ を代入して求められる．

$${\delta }_B=\frac{P{L}^3}{3EI}-\frac{5}{6EI}\left(\frac{5P}{18}\right)L^3$$ $${\delta }_B=\left(\frac{36}{108}-\frac{25}{108}\right)\frac{P{L}^3}{EI}$$ $$\boxed{{\delta }_B=\frac{11P{L}^3}{108EI}}$$

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这道材料力学题主要考察了静定与一次超静定悬臂梁的挠度计算。解题的核心在于熟练运用叠加原理以及已知的标准悬臂梁变形公式，从而避免从头积分挠曲线微分方程带来的繁琐计算。

在第一问中，由于集中载荷作用在梁的中点，中点到自由端之间没有弯矩作用，因此该段保持为直线。自由端的挠度由中点挠度加上中点转角引起的位移组成。第二问引入了端点反向载荷，利用叠加原理将单独受压和单独受抬引起的挠度直接相加即可。在此过程中，需灵活使用集中力作用在端点时任意截面挠度的通用公式。第三问是由铰链连接的静定结构组合而成的超静定问题。通过解除铰链约束并代之以未知的相互作用力，利用两个梁在连接处位移相等的变形协调条件，即可求出该未知约束力。最后再将求出的相互作用力代回前一问推导出的挠度公式中，即可求出受力点的最终挠度。整个过程假设向下变形为正方向。