0118-2025 横国工 机械 P61

力学 工程热力学 热力学循环 布雷顿循环 朗肯循环

ガスタービンの基本サイクルであるブレイトンサイクルと、蒸気原動所の基本サイクルであるランキンサイクルは、どちらも二つの等圧変化と二つの可逆断熱変化で構成されている。以下の問いに答えなさい。

（１）空気を作動流体とするブレイトンサイクルを考える。ここで、空気は理想気体であり、その定積比熱 $c_v$ [J/(kg·K)] 、定圧比熱$c_p$ [J/(kg·K] 、比熱比 $\kappa$ は空気温度に依らず一定とする。以下の問いⅰ）～ⅲ）に答えなさい。

ⅰ）次の四つの状態変化で構成されるブレイトンサイクルの$T-s$線図を描きなさい。ここで、$T$は絶対温度、$s$は比エントロピーである。

状態1：$(T_1,s_1)$ から 状態2：$(T_2,s_2)$ への可逆断熱圧縮
状態2：$(T_2,s_2)$ から 状態3：$(T_3,s_3)$ への等圧加熱（空気圧力は$P_2$）
状態3：$(T_3,s_3)$ から 状態4：$(T_4,s_4)$ への可逆断熱膨張
状態4：$(T_4,s_4)$ から 状態1：$(T_1,s_1)$ への等圧冷却（空気圧力は$P_4$）

ⅱ）単位質量流量の空気から得られる正味の仕事を与える式を、問題文中に与えられている記号を用いて示しなさい。

ⅲ）このブレイトンサイクルの熱効率を比熱比$\kappa$と圧力比$P_2/P_4$のみを用いて示しなさい。

（２）水（H₂O）を作動流体とするランキンサイクルを考える。以下の問いⅰ）～ⅳ）に答えなさい。

ⅰ）次の四つの状態変化で構成されるランキンサイクルの$h-s$線図を描きなさい。ここで、$h$は比エンタルピーである。$h-s$線図には水の臨界点、飽和液線、乾き飽和蒸気線を明示すること。また、状態6および7の圧力は水の臨界圧力より低いものとする。

状態5：$(h_5,s_5)$の飽和液 から 状態6：$(h_6,s_6)$の圧縮液への可逆断熱圧縮
状態6 から 状態7：$(h_7,s_7)$の過熱蒸気への等圧加熱（圧力は$P_6$）
状態7 から 状態8：$(h_8,s_8)$の湿り蒸気への可逆断熱膨張
状態8 から 状態5への等圧冷却（圧力は$P_8$）

ⅱ）単位質量流量の水から得られる正味の仕事を与える式を、問題文中に与えられている記号を用いて示しなさい。

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解答：

（１）
ⅰ）
$T-s$線図の数学的特性：
$1\to 2$： $s_1=s_2,T_2>T_1$ （垂直上昇）
$2\to 3$： $P=P_2=\text{const},s_3>s_2,T_3>T_2,{\left(\frac{\partial T}{\partial s}\right)}_P=\frac{T}{c_p}>0$ （下に凸の曲線）
$3\to 4$： $s_3=s_4,T_4<T_3$ （垂直下降）
$4\to 1$： $P=P_4=\text{const},s_1<s_4,T_1<T_4,{\left(\frac{\partial T}{\partial s}\right)}_P=\frac{T}{c_p}>0$ （下に凸の曲線）

ⅱ）
加熱量 $q_{in}=c_p(T_3-T_2)$
放熱量 $q_{out}=c_p(T_4-T_1)$
正味の仕事 $w=q_{in}-q_{out}$

$$\boxed{w=c_p(T_3-T_4-T_2+T_1)}$$

ⅲ）
熱効率 $\eta =\frac{w}{q_{in}}=1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}=1-\frac{T_1(T_4/T_1-1)}{T_2(T_3/T_2-1)}$
等エントロピー変化より：

$$\begin{array}{rl}\frac{T_2}{T_1}& ={\left(\frac{P_2}{P_1}\right)}^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}\frac{T_3}{T_4}\\ & ={\left(\frac{P_3}{P_4}\right)}^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}\end{array}$$

等圧変化より $P_1=P_4,P_3=P_2$
ゆえに $\frac{T_2}{T_1}=\frac{T_3}{T_4}⟹\frac{T_4}{T_1}=\frac{T_3}{T_2}$

$$\begin{array}{rl}\eta & =1-\frac{T_1}{T_2}\\ & =1-{\left(\frac{P_2}{P_1}\right)}^{-\frac{\kappa -1}{\kappa }}\\ & =1-{\left(\frac{P_2}{P_4}\right)}^{-\frac{\kappa -1}{\kappa }}\end{array}$$ $$\boxed{\eta =1-{\left(\frac{P_2}{P_4}\right)}^{\frac{1-\kappa }{\kappa }}}$$

（２）
ⅰ）
$h-s$線図の数学的特性（臨界点、飽和液線$x=0$、乾き飽和蒸気線$x=1$の存在を前提とする）：
$5\to 6$： $s_5=s_6,h_6>h_5$ （圧縮液領域への垂直上昇）
$6\to 7$： $P=P_6=\text{const},s_7>s_6,h_7>h_6$ （湿り蒸気領域を横切り過熱蒸気領域へ至る曲線）
$7\to 8$： $s_7=s_8,h_8<h_7$ （湿り蒸気領域への垂直下降）
$8\to 5$： $P=P_8=\text{const},s_5<s_8,h_5<h_8$ （等圧・等温の直線部分を含む）

ⅱ）
タービン仕事 $w_t=h_7-h_8$
ポンプ仕事 $w_p=h_6-h_5$
正味の仕事 $w=w_t-w_p$

$$\boxed{w=h_7-h_8-h_6+h_5}$$

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这道题主要考察了工程热力学中两个基本的动力循环即以理想气体为工质的布雷顿循环和以水为工质的朗肯循环。对于布雷顿循环，关键在于利用理想气体的定压比热容计算等压过程的吸热量和放热量，从而求得循环净功。在推导热效率时，需利用理想气体的等熵过程方程式，并结合循环中的两个等压过程将其代换，得出温度比与压比的对应关系，将提式中的温度消去最终得到仅含比热比和压比的表达式。对于朗肯循环，系统净功可以直接通过各个状态点进出口的比焓差来表示，也就是汽轮机的膨胀做功减去水泵的压缩耗功。由于纯文本环境下无法直接绘制循环图，解答中给出了T-s图和h-s图中各状态点演变的数学特征及不等式关系，例如可逆绝热过程对应坐标系中的垂直线，以及等压过程的单调性特征。实际绘制图表时，需特别注意水的临界点及饱和液线与干饱和蒸汽线构成的汽水饱和圆顶，并根据题意将各状态点准确落入压缩液、过热蒸汽或湿蒸汽区域。