0117-2025 横国工 数学 P60

微分积分 微积分 导数

次の関数を$x$で微分せよ．

$$y=\frac{(x+3{)}^2(x+2{)}^3}{(x+5{)}^5}$$

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解答：

両辺の絶対値の自然対数をとる．

$$\log |y|=2\log |x+3|+3\log |x+2|-5\log |x+5|$$

両辺を $x$ で微分する．

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x+2}-\frac{5}{x+5}$$ $$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{2(x+2)(x+5)+3(x+3)(x+5)-5(x+3)(x+2)}{(x+3)(x+2)(x+5)}$$ $$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{2(x^2+7x+10)+3(x^2+8x+15)-5(x^2+5x+6)}{(x+3)(x+2)(x+5)}$$ $$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{(2+3-5)x^2+(14+24-25)x+(20+45-30)}{(x+3)(x+2)(x+5)}$$ $$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{13x+35}{(x+3)(x+2)(x+5)}$$ $$y^{\prime }=y\cdot \frac{13x+35}{(x+3)(x+2)(x+5)}$$ $$y^{\prime }=\frac{(x+3{)}^2(x+2{)}^3}{(x+5{)}^5}\cdot \frac{13x+35}{(x+3)(x+2)(x+5)}$$ $$\boxed{y^{\prime }=\frac{(x+3)(x+2{)}^2(13x+35)}{(x+5{)}^6}}$$

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这道题主要考察了对数求导法的应用。当遇到由多个多项式的乘积、商或乘方组成的复杂分式函数时，直接使用商的求导法则和链式法则会使计算过程非常繁琐且极易出错。此时，先对等式两边取绝对值的自然对数，利用对数的性质将高阶的连乘和连除转化为对数项的简单加减，然后再对两边同时关于自变量隐函数求导，就能将复杂的乘除法转化为加减法运算，从而大大简化计算过程。在求出等式右边的导数并通分合并同类项后，最后将原函数的表达式乘回到右边进行约分，即可得到最终的导数结果。