0115-2024 横国工 机械 P59

控制学 自动控制原理 控制理论 拉普拉斯变换

下のブロック線図で表される閉ループ制御系について考える．ブロック $K,P$ の入出力特性はそれぞれ式(1)，式(2) のとおりである．ただし $t$ は時刻を表し，$j=\sqrt{-1}$ とする．

1. 閉ループ伝達関数 $W(s)=Y(s)/R(s)$ を求めよ．ただし $Y(s),R(s)$ はそれぞれ $y(t),r(t)$ のラプラス変換であり，$s$ はラプラス変数とする．
2. 単位ステップ入力 $r(t)$ を与えたときの応答 $y(t)$ および $\underset{t\to \infty }{\lim }y(t)$ を求めよ．
3. 周波数伝達関数 $W(j\omega )$ の位相 $\angle W(j\omega )=-90^{\circ }$ となる角周波数 $\omega (>0)$ を求めよ．

$$u(t)=7ϵ(t)$$ $$\frac{d^{2}y(t)}{d{t}^2}+6\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=u(t)$$

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解答：

式(1)を初期値0としてラプラス変換すると、

$$\begin{array}{rl}U(s)& =7E(s)\\ ⟹K(s)& =7\end{array}$$

式(2)を初期値0としてラプラス変換すると、

$$\begin{array}{rl}(s^2+6s+1)Y(s)& =U(s)\\ ⟹P(s)& =\frac{1}{s^2+6s+1}\end{array}$$

閉ループ伝達関数 $W(s)$ は、

$$\begin{array}{rl}W(s)& =\frac{K(s)P(s)}{1+K(s)P(s)}\\ & =\frac{\frac{7}{s^2+6s+1}}{1+\frac{7}{s^2+6s+1}}\\ & =\frac{7}{s^2+6s+8}\end{array}$$

因数分解して、

$$\boxed{W(s)=\frac{7}{(s+2)(s+4)}}$$

単位ステップ入力 $R(s)=\frac{1}{s}$ より、

$$Y(s)=W(s)R(s)=\frac{7}{s(s+2)(s+4)}$$

部分分数分解を行うと、

$$Y(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+4}$$ $$\begin{array}{rl}A& ={\frac{7}{(s+2)(s+4)}|}_{s=0}\\ & =\frac{7}{8}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}B& ={\frac{7}{s(s+4)}|}_{s=-2}\\ & =-\frac{7}{4}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}C& ={\frac{7}{s(s+2)}|}_{s=-4}\\ & =\frac{7}{8}\end{array}$$ $$Y(s)=\frac{7/8}{s}-\frac{7/4}{s+2}+\frac{7/8}{s+4}$$

逆ラプラス変換により、時間応答 $y(t)$ は $(t\ge 0)$ において、

$$\boxed{y(t)=\frac{7}{8}-\frac{7}{4}{e}^{-2t}+\frac{7}{8}{e}^{-4t}}$$

定常値は、$t\to \infty$ の極限をとり（あるいは最終値の定理 $\underset{s\to 0}{\lim }sY(s)$ より）、

$$\boxed{\underset{t\to \infty }{\lim }y(t)=\frac{7}{8}}$$

周波数伝達関数は、

$$\begin{array}{rl}W(j\omega )& =\frac{7}{(j\omega {)}^2+6j\omega +8}\\ & =\frac{7}{(8-{\omega }^2)+6\omega j}\end{array}$$

位相 $\angle W(j\omega )$ は、

$$\angle W(j\omega )=0^{\circ }-\angle ((8-{\omega }^2)+6\omega j)$$

$\angle W(j\omega )=-90^{\circ }$ となるためには、分母の複素数の実部が $0$ であり、かつ虚部が正でなければならない。

$$\begin{array}{rl}8-{\omega }^2& =0\\ ⟹{\omega }^2& =8\end{array}$$

$\omega >0$ より、

$$\boxed{\omega =2\sqrt{2}}$$

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本题主要考察经典控制理论中连续系统的闭环传递函数求解、系统响应计算以及频率特性分析。

第一问需要先将时域的常微分方程通过拉普拉斯变换转换到复频域（s域），分别求出控制器K和被控对象P的传递函数。然后利用标准的负反馈闭环传递函数公式推导出系统的总传递函数。

第二问中，对于单位阶跃输入，其拉氏变换为1/s。将输入乘以传递函数得到输出的拉氏变换，通过部分分式展开并查表进行反拉普拉斯变换，即可得到时域响应表达式。稳态值可通过令时间趋于无穷大直接从时域表达式得出，也可利用拉普拉斯变换的终值定理快速求解。

第三问考察频率特性的相频特性。将传递函数中的复变量s替换为虚数频率得到频率响应函数。要使相角为负九十度，由于分子为正实数（相角为零），分母的复数必须位于复平面的正虚轴上，即分母的实部必须等于零且虚部大于零。令实部为零即可解出满足条件的角频率。