0113-2024 横国工 机械 P56

材料力学
図1に示すような両端で単純支持された長さ $4L$ のはりを考える．AB間，BC間およびCD間の長さはそれぞれ $L,2L$ および $L$ である．いま，はりはBC間において，鉛直方向に単位長さ当たり $q$ の等分布荷重を受けている．ここに，はりの断面は円形であり，一様である．以下の問いに答えよ．
(1) A端での反力 $R_A$ を $q$ および $L$ を用いて表せ．
(2) BC間の断面に生じる曲げモーメント $M$ を位置 $x$ の関数として $q$ および $L$ を用いて表せ．ただし，A端での座標値を $x=0$ とする．
(3) はりの曲げ剛性が $EI$ である場合，はりに生じるたわみの最大値を $q,L$ および $EI$ を用いて表せ．
(4) はりの直径が $d$ である場合，はりに生じる曲げ応力の最大値を $q,L$ および $d$ を用いて表せ．ここに，円周率は $\pi$ とする．

次に，図2に示すような両端が固定支持された長さ $4L$ の中実丸棒を考える．AB間，BC間およびCD間の長さはそれぞれ $L,2L$ および $L$ である．いま，丸棒はBC間において単位長さ当たり ${\tau }_0$ の等分布ねじりモーメント（トルク）を受けている．ここに，丸棒の断面は一様である．以下の問いに答えよ．
(5) 固定端Aおよび固定端Dでの反ねじりモーメントをそれぞれ $T_A$ および $T_D$ とした場合，丸棒ABCD全体におけるねじりモーメントのつり合い式を表せ．
(6) 固定端Aでの反ねじりモーメント $T_A$ を ${\tau }_0$ および $L$ を用いて表せ．
(7) BC間の断面に生じるねじりモーメント $T$ を位置 $x$ の関数として ${\tau }_0$ および $L$ を用いて表せ．ただし，A端での座標値を $x=0$ とする．
(8) 丸棒のねじり剛性が $G{I}_p$ である場合，丸棒に生じるねじれ角の最大値を ${\tau }_0,L$ および $G{I}_p$ を用いて表せ．
(9) 丸棒の直径が $d$ である場合，丸棒に生じるせん断応力の最大値 ${\tau }_{\max }$ と主応力の最大値 ${\sigma }_p$ をそれぞれ ${\tau }_0,L$ および $d$ を用いて表せ．ここに，円周率は $\pi$ とする．

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解答：

(1)
対称性および鉛直方向の力のつり合いより、

$$2R_A=q\cdot 2L$$ $$\boxed{R_A=qL}$$

(2)
$L\le x\le 3L$ （BC間）における断面のモーメントのつり合いより、

$$\begin{array}{rl}M(x)& =R_{A}x-{\int }_L^{x}q(x-\xi )d\xi \\ & =qLx-\frac{1}{2}q(x-L{)}^2\end{array}$$ $$\boxed{M(x)=qLx-\frac{1}{2}q(x-L{)}^2}$$

(3)
たわみを $v$ とすると、基礎微分方程式は $EI{v}^{\prime \prime }=-M(x)$ となる。対称性より $x=2L$ でたわみ角 $v^{\prime }=0$、最大たわみ $v_{\max }$ が生じる。
$0\le x\le 2L$ について積分する。

$$EI{v}^{\prime }=-\int M(x)dx+C_1$$ $$EI{v}^{\prime }=-\frac{1}{2}qL{x}^2+\frac{1}{6}q⟨x-L{⟩}^3+C_1$$

$v^{\prime }(2L)=0$ より、

$$\begin{array}{rl}0& =-\frac{1}{2}qL(2L{)}^2+\frac{1}{6}q(L{)}^3+C_1\\ ⟹C_1& =\frac{11}{6}q{L}^3\end{array}$$

さらに積分して、

$$EIv=-\frac{1}{6}qL{x}^3+\frac{1}{24}q⟨x-L{⟩}^4+\frac{11}{6}q{L}^{3}x+C_2$$

境界条件 $v(0)=0$ より $C_2=0$。$x=2L$ を代入し最大たわみを求める。

$$\begin{array}{rl}EI{v}_{\max }& =-\frac{1}{6}qL(8L^3)+\frac{1}{24}q(L{)}^4+\frac{11}{6}q{L}^3(2L)\\ & =\left(-\frac{4}{3}+\frac{1}{24}+\frac{11}{3}\right)q{L}^4\\ & =\frac{19}{8}q{L}^4\end{array}$$ $$\boxed{v_{\max }=\frac{19q{L}^4}{8EI}}$$

(4)
最大曲げモーメント $M_{\max }$ は $x=2L$ で生じる。

$$\begin{array}{rl}{M}_{\max }& =M(2L)\\ & =qL(2L)-\frac{1}{2}q(L{)}^2\\ & =\frac{3}{2}q{L}^2\end{array}$$

断面係数 $Z=\frac{\pi d^3}{32}$ を用いて、最大曲げ応力 ${\sigma }_{\max }$ は、

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_{\max }& =\frac{M_{\max }}{Z}\\ & =\frac{3q{L}^2/2}{\pi d^3/32}\end{array}$$ $$\boxed{{\sigma }_{\max }=\frac{48q{L}^2}{\pi d^3}}$$

(5)
丸棒全体のねじりモーメントのつり合いより、

$$\boxed{T_A+T_D=2{\tau }_{0}L}$$

(6)
構造と荷重の対称性より、

$$\boxed{T_A={\tau }_{0}L}$$

(7)
$L\le x\le 3L$ （BC間）における内力ねじりモーメント $T(x)$ は、左側部分のつり合いより、

$$\begin{array}{rl}T(x)& =T_A-{\int }_L^x{\tau }_{0}d\xi \\ & ={\tau }_{0}L-{\tau }_0(x-L)\end{array}$$ $$\boxed{T(x)={\tau }_0(2L-x)}$$

(8)
最大ねじれ角 ${\varphi }_{\max }$ は対称性より中央 $x=2L$ で生じる。

$$\begin{array}{rl}{\varphi }_{\max }& ={\int }_0^{2L}\frac{T(x)}{G{I}_p}dx\\ & ={\int }_0^L\frac{{\tau }_{0}L}{G{I}_p}dx+{\int }_L^{2L}\frac{{\tau }_0(2L-x)}{G{I}_p}dx\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\varphi }_{\max }& =\frac{{\tau }_0{L}^2}{G{I}_p}+\frac{{\tau }_0}{G{I}_p}{\left[2Lx-\frac{x^2}{2}\right]}_L^{2L}\\ & =\frac{{\tau }_0{L}^2}{G{I}_p}+\frac{{\tau }_0{L}^2}{2G{I}_p}\end{array}$$ $$\boxed{{\varphi }_{\max }=\frac{3{\tau }_0{L}^2}{2G{I}_p}}$$

(9)
最大ねじりモーメント $T_{\max }=T_A={\tau }_{0}L$ であり、断面二次極モーメント $I_p=\frac{\pi d^4}{32}$ である。最大せん断応力 ${\tau }_{\max }$ は、

$$\begin{array}{rl}{\tau }_{\max }& =\frac{T_{\max }(d/2)}{I_p}\\ & =\frac{{\tau }_{0}L(d/2)}{\pi d^4/32}\end{array}$$ $$\boxed{{\tau }_{\max }=\frac{16{\tau }_{0}L}{\pi d^3}}$$

純ねじり状態において、応力状態は純せん断となるため、モール円の半径がそのまま最大主応力となる。

$$\boxed{{\sigma }_p=\frac{16{\tau }_{0}L}{\pi d^3}}$$

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本题涵盖了材料力学中两类经典的对称结构问题：静定梁的弯曲变形与一次超静定轴的扭转变形。

上半部分求解梁的位移时，充分利用了结构的对称性。由于荷载与结构左右对称，支座反力可以直接平分总荷载。在计算最大挠度时，由于跨中位置斜度（转角）为零，我们只需积分一半的梁段，即可利用边界条件（端点挠度为0，跨中斜度为0）求得积分常数。这里的积分过程中使用了类似奇异函数（Macaulay括号）的思想 $⟨x-L⟩$ ，它能很方便地将分段函数的积分统一在一个表达式中。求最大正应力时，直接使用最大弯矩除以抗弯截面系数即可。

下半部分是两端固定的受扭轴。虽然从力学角度看它是一个超静定问题，但因为分布扭矩位于正中央，左右完全对称，所以两端的反作用扭矩各自承担一半的外部总扭矩，从而直接化简为了静定问题。随后的内力扭矩分布、最大扭转角和最大切应力的求解顺理成章。值得注意的是最后一问中的“主应力（主応力）”，在圆轴纯扭转（纯剪切）状态下，材料一点的应力莫尔圆是以坐标原点为圆心的，其半径即为最大切应力的大小，因此最大拉应力（即第一主应力）的数值直接等于最大切应力。