0111-2024 横国工 机械 P57

力学 经典力学 多自由度振动 矩阵特征值

上図に示されるように，等しい質量$m$の剛体A，Bをばね定数$k$の線形ばねで連結し，Aを水平な床面に，BをAの上に置く．さらに，ばね定数$k$の線形ばねの一端を壁に固定し，他端をAに取り付ける．Bは半径$R$の円柱であり，Aの上を滑らずに転がる．Bの回転軸回りの慣性モーメントを$I$とし，時計回りの回転角度を$\phi$とする．AとBの間の摩擦力の大きさを$F$とし，AとBの静止座標系上の変位を各々$x_A,x_B$とする．二つの線形ばねが自然長のとき，$x_A=x_B=\phi =0$とする．床面とAの間の摩擦力は無視する．
次の問いに答えよ．
(1) Aの水平方向の運動方程式を$m,k,x_A,R,\phi ,F$を用いて答えよ．
(2) Bの水平方向の運動方程式を$m,k,x_B,R,\phi ,F$，回転の運動方程式を$R,\phi ,F,I$を用いて答えよ．

以下では，$I=\frac{1}{2}m{R}^2$とし，A，Bの自由振動の角振動数を$\omega$，$\mathbf{M}$を質量行列，$\mathbf{K}$を剛性行列とする．
(3) $\mathbf{M}\left[\begin{array}{c}{\ddot{x}}_A\\ \ddot{\phi }\end{array}\right]+\mathbf{K}\left[\begin{array}{c}{x}_A\\ \phi \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$とした場合の，振動数方程式を，$\omega ,m,k$を用いて答えよ．
(4) 上式の固有角振動数${\omega }_1,{\omega }_2$を$m,k$を用いて答えよ．ただし${\omega }_1<{\omega }_2$とする．
(5) A，Bがともに固有角振動数${\omega }_i$で単振動する場合，$\phi =C_i{x}_A$の関係が成立する($i=1,2$)．
$C_i$を$m,k,R,{\omega }_i$を用いて答えよ．

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解答：

(1)
Aには左側のばねから $-k{x}_A$、右側のばねから $+k(x_B-x_A)$ の復元力が働き、図の通り左向きに摩擦力 $F$ が働く。$x_B-x_A=R\phi$ であるため、

$$\boxed{m{\ddot{x}}_A=-k{x}_A+kR\phi -F}$$

(2)
Bの並進運動について、ばねからの力は $-k(x_B-x_A)=-kR\phi$、図の通り右向きに摩擦力 $F$ が働く。

$$\boxed{m{\ddot{x}}_B=-kR\phi +F}$$

Bの回転運動について、右向きの摩擦力は反時計回りのトルクを生むため、

$$\boxed{I\ddot{\phi }=-FR}$$

(3)
(2)の回転の式より $F=-\frac{I\ddot{\phi }}{R}$。これを各並進運動方程式に代入し、$x_B=x_A+R\phi$ および $I=\frac{1}{2}m{R}^2$ を用いて $x_A$ と $\phi$ の式に整理する。
Aについて：

$$m{\ddot{x}}_A=-k{x}_A+kR\phi +\frac{1}{2}mR\ddot{\phi }$$ $$m{\ddot{x}}_A-\frac{1}{2}mR\ddot{\phi }+k{x}_A-kR\phi =0\cdots \text{①}$$

Bについて ($m({\ddot{x}}_A+R\ddot{\phi })=-kR\phi -\frac{1}{2}mR\ddot{\phi }$ より)：

$$m{\ddot{x}}_A+\frac{3}{2}mR\ddot{\phi }+kR\phi =0\cdots \text{②}$$

①、②を行列形式で表すと、

$$\left[\begin{array}{cc}m& -\frac{1}{2}mR\\ m& \frac{3}{2}mR\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\ddot{x}}_A\\ \ddot{\phi }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}k& -kR\\ 0& kR\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_A\\ \phi \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$$

解を $\left[\begin{array}{c}{x}_A\\ \phi \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{X}_A\\ \Phi \end{array}\right]\cos (\omega t)$ とおき代入すると、自明でない解をもつ条件（行列式 $=0$）は、

$$\det \left[\begin{array}{cc}k-m{\omega }^2& -kR+\frac{1}{2}mR{\omega }^2\\ -m{\omega }^2& kR-\frac{3}{2}mR{\omega }^2\end{array}\right]=0$$

これを展開・整理して、

$$(k-m{\omega }^2)(kR-\frac{3}{2}mR{\omega }^2)-(-m{\omega }^2)(-kR+\frac{1}{2}mR{\omega }^2)=0$$ $$\boxed{4m^2{\omega }^4-7km{\omega }^2+2k^2=0}$$

(4)
(3)の振動数方程式は ${\omega }^2$ の二次方程式である。解の公式より、

$$\begin{array}{rl}{\omega }^2& =\frac{7km\pm \sqrt{49k^2{m}^2-32k^2{m}^2}}{8m^2}\\ & =\frac{7\pm \sqrt{17}}{8}\frac{k}{m}\end{array}$$

${\omega }_1<{\omega }_2$ の条件から、

$$\boxed{{\omega }_1=\sqrt{\frac{7-\sqrt{17}}{8}\frac{k}{m}},{\omega }_2=\sqrt{\frac{7+\sqrt{17}}{8}\frac{k}{m}}}$$

(5)
式①と②の和をとると、$2m{\ddot{x}}_A+mR\ddot{\phi }+k{x}_A=0$ となる。
これに ${\ddot{x}}_A=-{\omega }_i^2{x}_A$、$\ddot{\phi }=-{\omega }_i^2\phi$ を代入し、さらに $\phi =C_i{x}_A$ を用いると、

$$-2m{\omega }_i^2{x}_A-mR{\omega }_i^2{C}_i{x}_A+k{x}_A=0$$

$x_A\ne 0$ として両辺を割り、$C_i$ について解くと、

$$\boxed{C_i=\frac{k-2m{\omega }_i^2}{mR{\omega }_i^2}}$$

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本题主要考察多自由度耦合振动系统的动力学建模与固有频率的求解。在建立运动方程时，需要特别注意刚体A和B之间的相对位移关系以及摩擦力作用的方向。圆柱体B在A上作无滑动的纯滚动，因此其质心的绝对位移是A的位移与相对滚动位移的叠加。此处的摩擦力作为维持纯滚动的内力，可以通过联立B的平动和转动方程予以消去。除了利用牛顿-欧拉方程分别隔离刚体进行受力分析外，针对此类多自由度系统，也可以直接写出系统的总动能与总势能，利用拉格朗日方程导出具有对称性质的质量矩阵和刚度矩阵，这样在后续求解特征值（即频散方程）时能进一步简化代数运算并方便检验。最后，通过将假设的简谐振动解代入原微分方程组，令系数矩阵的行列式为零即可解出系统的固有角频率，并将其回代至原方程解出对应的振幅比（即系统的振型）。