0110-2024 横国工 数学 P54

常微分方程 高等数学

次の微分方程式の一般解を求めよ.

(1) $y^{\prime }+y=xy$ (ただし $y\ne 0$)
(2) $y^{\prime }+y=x{y}^2$ (ただし $y\ne 0$)

ここで, $y=y(x)$, $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$.

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解答：

(1)
与式より

$$\frac{dy}{dx}=(x-1)y$$

$y\ne 0$ であるから、変数分離形として変形すると

$$\frac{1}{y}dy=(x-1)dx$$

両辺を積分して

$$\int \frac{1}{y}dy=\int (x-1)dx$$ $$\log |y|=\frac{1}{2}{x}^2-x+C_1(C_1\text{ は任意定数})$$ $$y=\pm e^{C_1}{e}^{\frac{1}{2}{x}^2-x}$$

$C=\pm e^{C_1}$ とおくと ($C\ne 0$)

$$\boxed{y=C{e}^{\frac{1}{2}{x}^2-x}(C\text{ は }0\text{ でない任意定数})}$$

(2)
与式はベルヌーイの微分方程式である。
両辺を $y^2$ ($y\ne 0$) で割ると

$$y^{-2}{y}^{\prime }+y^{-1}=x$$

$z=y^{-1}$ とおくと、$z^{\prime }=-y^{-2}{y}^{\prime }$ より $y^{-2}{y}^{\prime }=-z^{\prime }$
これを代入して整理すると

$$\begin{array}{rl}-z^{\prime }+z& =x\\ ⟹z^{\prime }-z& =-x\end{array}$$

両辺に積分因子 $e^{-x}$ を掛けて

$$e^{-x}{z}^{\prime }-e^{-x}z=-x{e}^{-x}$$ $$(e^{-x}z{)}^{\prime }=-x{e}^{-x}$$

両辺を積分して部分積分法を用いると

$$\begin{array}{rl}{e}^{-x}z& =\int -x{e}^{-x}dx\\ & =x{e}^{-x}-\int e^{-x}dx\\ & =x{e}^{-x}+e^{-x}+C(C\text{ は任意定数})\end{array}$$

両辺に $e^x$ を掛けて

$$z=x+1+C{e}^x$$

$z=y^{-1}$ であるから

$$\frac{1}{y}=x+1+C{e}^x$$ $$\boxed{y=\frac{1}{x+1+C{e}^x}(C\text{ は任意定数})}$$

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这道题主要考察了一阶常微分方程的求解。第一问是基础的变量分离型微分方程，将含有y的项移到等式一边，含有x的项移到另一边，然后两边同时积分即可求出通解，由于题目规定了y不等于0，所以在处理绝对值和积分常数时可以将常数合并为一个非零的任意常数。第二问是典型的伯努利微分方程，其标准形式为$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n$。解这类方程的标准做法是通过变量代换将其转化为一阶线性微分方程，两边同除以y的平方后令z=1/y，就可以把原方程化为关于z的一阶线性微分方程。在求解这个化简后的线性方程时，可以像解答中一样两边同乘积分因子构造出全微分的形式进行求解，也可以直接套用一阶线性常微分方程的通解公式或使用常数变易法，最后不要忘记将z还原回y得到原方程的解。