0109-2024 横国工 数学 P54

线性代数 特征值与特征向量 矩阵对角化

以下の行列 $A$ について

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 2\\ 2& 2& -1\end{array}\right)$$

(1) 固有値と固有ベクトルを求めよ.
(2) (1)の行列 $A$ について, $P^{-1}AP$ が対角行列となる正則行列 $P$ を一つ求めよ.
また, その $P$ に対する $P^{-1}AP$ を求めよ.

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解答：

(1)
固有多項式：

$$\begin{array}{rl}|\lambda I-A|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& 0& -2\\ 0& \lambda -1& -2\\ -2& -2& \lambda +1\end{array}\right|\\ & =(\lambda -1)[(\lambda -1)(\lambda +1)-4]-2[2(\lambda -1)]\\ & =(\lambda -1)({\lambda }^2-5)-4(\lambda -1)\\ & =(\lambda -1)({\lambda }^2-9)\\ & =(\lambda -1)(\lambda -3)(\lambda +3)\end{array}$$

$|\lambda I-A|=0$ より、固有値は

$$\boxed{\lambda =-3,1,3}$$

各固有値に対する固有ベクトル $\mathbf{x}$ :
$\lambda =-3$ のとき：

$$\begin{array}{rl}(-3I-A)\mathbf{x}& =\left(\begin{array}{ccccccc}-4& 0& -20& -4& -2-2& -2& -2\end{array}\right)\mathbf{x}=0\\ ⟹\mathbf{x}& =c_1\left(\begin{array}{c}11-2\end{array}\right)(c_1\ne 0)\end{array}$$

$\lambda =1$ のとき：

$$\begin{array}{rl}(I-A)\mathbf{x}& =\left(\begin{array}{ccccccc}0& 0& -20& 0& -2-2& -2& 2\end{array}\right)\mathbf{x}=0\\ ⟹\mathbf{x}& =c_2\left(\begin{array}{c}1-10\end{array}\right)(c_2\ne 0)\end{array}$$

$\lambda =3$ のとき：

$$\begin{array}{rl}(3I-A)\mathbf{x}& =\left(\begin{array}{ccccccc}2& 0& -20& 2& -2-2& -2& 4\end{array}\right)\mathbf{x}=0\\ ⟹\mathbf{x}& =c_3\left(\begin{array}{c}111\end{array}\right)(c_3\ne 0)\end{array}$$

よって、固有ベクトルは

$$\boxed{c_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right),c_2\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right),c_3\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)(c_1,c_2,c_3\text{ は }0\text{ でない任意定数})}$$

(2)
(1)より、3つの一次独立な固有ベクトルを列ベクトルとして並べて正則行列 $P$ を構成する。

$$\boxed{P=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ -2& 0& 1\end{array}\right)}$$

この $P$ を用いると、$P^{-1}AP$ は対応する固有値を対角成分に持つ対角行列となるため

$$\boxed{P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}-3& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)}$$

(※ $P$ の列ベクトルの並べ方により、答えは複数存在する)

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这道题主要考察了矩阵的特征值计算以及矩阵的对角化。在第一问计算特征多项式行列式的时候，建议不要直接将整个式子无脑展开成三次多项式，而是应当在展开的过程中寻找公因式进行提取。比如这道题在按第一行或第一列展开后，很容易就能提取出 lambda-1 这个因式，剩下的部分就是一个简单的二次方程，这样可以极大程度避免高次方程求根时的猜根困难和计算错误。求出特征值后，分别代入齐次线性方程组求解基础解系即可得到特征向量。第二问中，使矩阵对角化的可逆矩阵就是由这些特征向量按列拼合而成的，只要满足列向量与对角矩阵中对角线上特征值的顺序一一对应即可，不管怎么排列顺序都是正确且满分的。