0107-2023 横国工 机械 P50

力学 热力学 理想气体 热力循环 卡诺循环

等温圧縮（状態$1\to 2$）、断熱圧縮（状態$2\to 3$）、ポリトロープ変化による膨張（状態$3\to 1$）で構成されるサイクル（サイクル1）を考える。ここで作動流体は理想気体とし、$p$は圧力、$v$は比容積、$T$は絶対温度、$s$は比エントロピーを表し、比熱比を$\kappa$、ポリトロープ指数を$n$とする。また、サイクルの各状態における状態量を下付き数字で表すものとする（例えば、状態1における絶対温度を$T_1$と表す）。

(1) このサイクルの$p-v$線図および$T-s$線図を描け。
(2) 等温圧縮するために必要な単位質量当たりの仕事$l_{12}$を、$T_1$、$v_1$、$v_2$、ガス定数$R$を用いて表せ。なお、系が外部にする仕事を正とする。
(3) ポリトロープ変化による膨張の間に必要な単位質量当たりの熱量$q_{in}$を、$T_1$、$T_3$、$\kappa$、$n$および定積比熱$c_v$を用いて表せ。なお、系が外部から受け取る熱量を正とする。
(4) このサイクルの熱効率${\eta }_1$を、$T_1$、$T_3$、$v_1$、$v_2$、$\kappa$、$n$を用いて表せ。

続いて、ポリトロープ変化による圧縮（状態$1\to 3$）、等温膨張（状態$3\to 4$）、断熱膨張（状態$4\to 1$）、で構成されるサイクル（サイクル2）を考える。作動流体はサイクル1のものと同じであり、サイクルの各状態における状態量を同様の表記とする。

(5) このサイクルの熱効率${\eta }_2$を、$T_1$、$T_3$、$v_3$、$v_4$、$\kappa$、$n$を用いて表せ。

サイクル1およびサイクル2を順に運転するジョイントサイクルを考える。作動流体の質量はサイクル1、サイクル2で同一とし、サイクル2での排熱を回収してサイクル1の加熱に用いるとする。

(6) ジョイントサイクルの熱効率${\eta }_{total}$を、$T_1$、$T_3$を用いて表せ。

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解答：
(1)
$p-v$線図：$1\to 2$は$pv=\text{const}$の双曲線、$2\to 3$は$p{v}^{\kappa }=\text{const}$の曲線、$3\to 1$は$p{v}^n=\text{const}$の曲線で囲まれた閉曲線となる。
$T-s$線図：$1\to 2$は等温線（左向きの水平線）、$2\to 3$は等エントロピー線（上向きの垂直線）、$3\to 1$は右下へ向かう曲線となる。

(2)
状態1から2は等温変化であるため、温度は$T_1$で一定。

$$\begin{array}{rl}{l}_{12}& ={\int }_{v_1}^{v_2}pdv\\ & ={\int }_{v_1}^{v_2}\frac{R{T}_1}{v}dv\\ & =\boxed{R{T}_1\ln \frac{v_2}{v_1}}\end{array}$$

(3)
熱力学第一法則 $q_{in}=\Delta u+l_{31}$ を用いる。ポリトロープ比熱 $c_n=c_v\frac{n-\kappa }{n-1}$ より、

$$\begin{array}{rl}{q}_{in}& =c_n(T_1-T_3)\\ & =c_v\frac{n-\kappa }{n-1}(T_1-T_3)\\ & =\boxed{c_v\frac{\kappa -n}{n-1}(T_3-T_1)}\end{array}$$

(4)
サイクル1の放熱量は等温圧縮過程のみで生じ、$q_{out}=|l_{12}|=-R{T}_1\ln \frac{v_2}{v_1}$ である。
マイヤーの式よりガス定数は $R=c_v(\kappa -1)$ と表せるため、

$$\begin{array}{rl}{\eta }_1& =1-\frac{q_{out}}{q_{in}}\\ & =1+\frac{c_v(\kappa -1)T_1\ln \frac{v_2}{v_1}}{c_v\frac{\kappa -n}{n-1}(T_3-T_1)}\\ & =\boxed{1+\frac{(\kappa -1)(n-1)T_1\ln \frac{v_2}{v_1}}{(\kappa -n)(T_3-T_1)}}\end{array}$$

(5)
サイクル2において、外部からの加熱は等温膨張過程 $3\to 4$ のみであり、$q_{in2}=R{T}_3\ln \frac{v_4}{v_3}$。
放熱はポリトロープ圧縮過程 $1\to 3$ で生じ、その大きさは $q_{out2}=c_v\frac{\kappa -n}{n-1}(T_3-T_1)$。

$$\begin{array}{rl}{\eta }_2& =1-\frac{q_{out2}}{q_{in2}}\\ & =1-\frac{c_v\frac{\kappa -n}{n-1}(T_3-T_1)}{c_v(\kappa -1)T_3\ln \frac{v_4}{v_3}}\\ & =\boxed{1-\frac{(\kappa -n)(T_3-T_1)}{(\kappa -1)(n-1)T_3\ln \frac{v_4}{v_3}}}\end{array}$$

(6)
サイクル2のポリトロープ圧縮による排熱量 $q_{out2}$ と、サイクル1のポリトロープ膨張による加熱量 $q_{in}$ は大きさが等しく、内部で完全に授受される。
したがって、ジョイントサイクル全体として外部と熱交換する過程は、高温源 $T_3$ での等温膨張（吸熱）と低温源 $T_1$ での等温圧縮（放熱）のみとなる。これは全体として経路 $1\to 2\to 3\to 4\to 1$ をたどるカルノーサイクルに等しいため、その熱効率は、

$${\eta }_{total}=\boxed{1-\frac{T_1}{T_3}}$$

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这道综合热力学题目考察了理想气体的几种基本热力学过程（等温、绝热、多方过程）的功和热量的计算，以及在此基础上构建的热力循环效率的求解。解答前几问的关键是对基本公式的熟练运用，多方过程吸收的热量可以通过多方比热容直接计算，也可以通过热力学第一定律用内能变化和膨胀功推导而来。计算时需要特别留意符号法则，题目中规定系统对外做功和吸热为正，在处理等温压缩这种放热过程时要正确使用绝对值。在化简效率表达式时，利用理想气体常数与定容比热容的关系可以实现变量的统一消元。最后一问是本题的核心亮点。通过题意将两个循环合并运行，可以发现循环2在多方压缩过程放出的热量恰好等于循环1在多方膨胀过程需要的热量，这种理想的“内部回热”机制使得系统整体只需要在两个恒定的温度极值处与外界环境发生热交换。从相图上看，其外围轮廓完全由两条等温线和两条绝热线构成，这意味着它在宏观上等效于一个工作在最高温与最低温之间的逆向卡诺循环，所以不必再进行冗长的代数运算，直接运用卡诺定理就能得出最终的热效率。