0105-2023 横国工 机械 P47

流体力学 纳维-斯托克斯方程 不可压缩流体

右図のように無限に延びる二枚の平行平板間の流れを考える．平板間の距離は $h$ とする．下板上に原点を設け，平板に対して平行方向を $x$ 軸，垂直方向を $y$ 軸とする．上板は速度 $U$ で $x$ 正方向に動き，下板は静止している．更に $x$ 方向に一定の圧力勾配 $dp/dx$ があるとする．流体は二次元非圧縮性とし，また，流れは層流で定常流とし外力はないものとする．このとき以下の問いに答えよ．

1. $x,y$ 方向の速度成分をそれぞれ $u,v$ として，二次元ナヴィエ・ストークス方程式を書け．
2. 平板間の流速分布 $u(y)$，および流量を求めよ．
3. 流量が 0 のとき，以下の問いに答えよ．
   (a) $dp/dx$ を $U,h,\mu$ (粘性係数) を用いて表せ．
   (b) 平板間の流速分布 $u(y)$ を $U,h,y$ を用いて表せ．また，横軸を流速 $u(y)$，縦軸を $y$ として流速分布の概略をかけ．
   (c) 上板，および下板にかかるせん断応力をそれぞれ $U,h,\mu$ を用いて表せ．
   

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解答：

密度を $\rho$ とする。外力がなく、二次元非圧縮性であるため、
$x$ 成分：

$$\boxed{\rho \left(\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}\right)=-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu \left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)}$$

$y$ 成分：

$$\boxed{\rho \left(\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}\right)=-\frac{\partial p}{\partial y}+\mu \left(\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}\right)}$$

定常流（$\frac{\partial }{\partial t}=0$）、平行流（$v=0$）、連続の式より $\frac{\partial u}{\partial x}=0$。
N-S方程式の $x$ 成分は以下のように簡略化される。

$$\begin{array}{rl}0& =-\frac{dp}{dx}+\mu \frac{d^{2}u}{d{y}^2}\\ ⟹\frac{d^{2}u}{d{y}^2}& =\frac{1}{\mu }\frac{dp}{dx}\end{array}$$

積分して、

$$u(y)=\frac{1}{2\mu }\frac{dp}{dx}{y}^2+C_{1}y+C_2$$

境界条件 $u(0)=0$ より $C_2=0$。
$u(h)=U$ より $U=\frac{1}{2\mu }\frac{dp}{dx}{h}^2+C_{1}h⟹C_1=\frac{U}{h}-\frac{h}{2\mu }\frac{dp}{dx}$。
ゆえに流速分布は、

$$\boxed{u(y)=\frac{1}{2\mu }\frac{dp}{dx}(y^2-hy)+\frac{U}{h}y}$$

単位奥行き当たりの流量 $Q$ は、

$$\begin{array}{rl}Q& ={\int }_0^{h}u(y)dy\\ & ={\int }_0^h\left[\frac{1}{2\mu }\frac{dp}{dx}(y^2-hy)+\frac{U}{h}y\right]dy\end{array}$$ $$=\frac{1}{2\mu }\frac{dp}{dx}{\left[\frac{y^3}{3}-\frac{h{y}^2}{2}\right]}_0^h+\frac{U}{h}{\left[\frac{y^2}{2}\right]}_0^h$$ $$\boxed{Q=-\frac{h^3}{12\mu }\frac{dp}{dx}+\frac{Uh}{2}}$$

(a)
$Q=0$ より、

$$\begin{array}{rlrlr}-\frac{h^3}{12\mu }\frac{dp}{dx}+\frac{Uh}{2}& =0& & & \\ ⟹\boxed{\frac{dp}{dx}=\frac{6\mu U}{h^2}}& & & & \end{array}$$

(b)
(a) の結果を $u(y)$ に代入する。

$$\begin{array}{rl}u(y)& =\frac{1}{2\mu }\left(\frac{6\mu U}{h^2}\right)(y^2-hy)+\frac{U}{h}y\\ & =\frac{3U}{h^2}{y}^2-\frac{3U}{h}y+\frac{U}{h}y\end{array}$$ $$\boxed{u(y)=\frac{U}{h}y\left(3\frac{y}{h}-2\right)}$$

概略：点 $(0,0),(-\frac{U}{3},\frac{h}{3}),(0,\frac{2h}{3}),(U,h)$ を通る、$u$ の最小値が $-\frac{U}{3}$ の放物線となる。

(c)
せん断応力 ${\tau }_{yx}=\mu \frac{du}{dy}$ を計算する。

$$\begin{array}{rl}\frac{du}{dy}& =\frac{U}{h}\left(\frac{6y}{h}-2\right)\\ & =\frac{2U}{h}\left(\frac{3y}{h}-1\right)\end{array}$$

上板（$y=h$）のせん断応力：

$$\boxed{{\tau }_h=\mu \frac{2U}{h}(3-1)=\frac{4\mu U}{h}}$$

下板（$y=0$）のせん断応力：

$$\boxed{{\tau }_0=\mu \frac{2U}{h}(0-1)=-\frac{2\mu U}{h}}$$

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这道题考察的是流体力学中非常经典的不可压缩黏性流体的平行平板间流动问题，实际上是库埃特流动（Couette flow，由边界运动驱动）和泊肃叶流动（Poiseuille flow，由压力梯度驱动）的叠加。解题的核心在于根据题目给出的条件化简纳维-斯托克斯方程。因为是定常流动，时间导数项为零；流体只在水平方向运动且充分发展，所以垂直方向速度为零且水平速度在水平方向没有变化，这也使得非线性对流项归零。最终偏微分方程退化为一个简单的二阶常微分方程。

通过对该常微分方程进行两次积分，并代入上下平板的无滑移边界条件，就可以求出速度分布的解析解。流量即为速度分布在截面上的积分。第三问讨论了流量为零的特殊情况，这意味着由上板拖拽产生的正向流量与由逆向压力梯度产生的反向流量刚好抵消。此时速度剖面不再是简单的线性或对称抛物线，而是一个在靠近下板区域出现回流（速度为负）的抛物线。在计算剪切应力时，直接根据牛顿内摩擦定律对速度求导，分别代入上下板的坐标即可得到对应位置的应力值，正负号体现了流体对平板作用力的方向。