0103-2023 横国工 数学 P49

线性代数 矩阵 行列式 逆矩阵

2．以下の行列Aについて，

（１）行列式を求め逆行列が存在する条件を答えよ．

（２）逆行列が存在する場合の逆行列を求めよ．

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -2\\ -1& 0& 3\\ 2& -3& a\end{array}\right)\text{ここで}a\text{は任意の実数である。}$$

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解答：

(1)

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}0& 1& -2\\ -1& 0& 3\\ 2& -3& a\end{array}\right|$$ $$=0-1\cdot \left|\begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& a\end{array}\right|-2\cdot \left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ 2& -3\end{array}\right|$$ $$=-(-a-6)-2(3-0)$$ $$=a$$

逆行列が存在する条件は $|A|\ne 0$ より，

$$\boxed{|A|=a,a\ne 0}$$

(2)
余因子行列を $\tilde{A}$ とすると，各成分は余因子 ${\Delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$ の転置となる．

$$\begin{array}{rl}\tilde{A}& =\left(\begin{array}{ccccccc}{\Delta }_{11}& {\Delta }_{21}& {\Delta }_{31}{\Delta }_{12}& {\Delta }_{22}& {\Delta }_{32}{\Delta }_{13}& {\Delta }_{23}& {\Delta }_{33}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccccccc}9& -a+6& 3a+6& 4& 23& 2& 1\end{array}\right)\end{array}$$

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\tilde{A}$ より，

$$A^{-1}=\boxed{\frac{1}{a}\left(\begin{array}{ccc}9& -a+6& 3\\ a+6& 4& 2\\ 3& 2& 1\end{array}\right)}$$

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这道题目主要考察了线性代数中三阶方阵的行列式计算及其逆矩阵的求解方法。对于第一问，计算三阶行列式可以采用按某一行或某一列展开的降阶法，观察矩阵发现第一行和第一列都含有零元素，按这些位置展开可以有效减少计算量，得到含参的行列式的值后，利用方阵可逆的充要条件也就是其行列式非零，就能直接得出参数需满足的限制条件。第二问是在第一问判定可逆的基础上求逆矩阵，对于这类含有未知参数且阶数不高的矩阵，利用伴随矩阵法求解通常比初等行变换法更直接。在计算伴随矩阵时，必须仔细计算每一个元素的代数余子式，并特别注意位置符号的交替变化，同时不要忘记伴随矩阵是由代数余子式矩阵转置而成的。最后套用公式将伴随矩阵乘以行列式值的倒数即可得到对应的逆矩阵。