0102-2023 横国工 数学 P49

微分积分 微积分 二重积分 极坐标变换

極座標変換により以下の積分を求めよ.

$${\int }_0^2{\int }_0^{\sqrt{4-x^2}}{x}^{2}dydx$$

---

解答：
積分領域 $D:0\le x\le 2,0\le y\le \sqrt{4-x^2}$
極座標 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ とおくと，変換のヤコビアンは $r$．
対応する領域 $E:0\le r\le 2,0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$

$$\text{与式}={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\int }_0^2(r\cos \theta {)}^{2}rdrd\theta$$ $$={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2\theta d\theta {\int }_0^2{r}^{3}dr$$ $$={\left[\frac{\theta }{2}+\frac{\sin 2\theta }{4}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}{\left[\frac{r^4}{4}\right]}_0^2$$ $$=\frac{\pi }{4}\cdot 4$$ $$=\boxed{\pi }$$

---

这道题主要考察了二重积分的极坐标变换技巧。题目中给出的积分区域上限包含了根号下的二次式，暗示了积分区域与圆有关。通过写出积分上下限，可以直观地看出这是一个位于第一象限且半径为2的四分之一圆区域。在进行极坐标变换时有两个关键点，一是将直角坐标变量替换为极坐标形式，二是千万不要漏掉面积微元变换时产生的雅可比行列式的值也就是公式中多出来的那个r。转换后的积分变量可以直接分离，分别对半径和极角进行一元定积分计算即可，其中极角的积分用到了简单的三角恒等变换也就是半角公式来进行降幂求解。