0100-2022 横国工 机械 P44

流体力学 伯努利方程 雷诺数 动量定理

下図のような水平に設置された直径$D$の円管に密度$\rho$，粘度$\mu$の水が体積流量$Q$で一様に流入している．円管から流出後はくさび形の物体に衝突し，物体に沿って水平面からの角度$\theta$で流出する．流れは非圧縮かつ定常で重力加速度を$g$として以下の問に答えよ．
(1) 図のようにピトー管と，密度${\rho }_m$の水銀を注入したマノメータを流入部に設置した．このときの水銀の液面差$h$を示せ．ただし，ピトー管の周辺で圧力損失は無く，速度分布は一様のままとする．
(2) 円管内の直径基準のレイノルズ数を示せ．
(3) このくさび形の物体が，水から受ける水平方向の力$F$を求めよ．ただし，衝突前の噴流の流速は一様で方向は水平，直径は$D$のままであった．また物体への衝突前後での摩擦による損失は無いとする．

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解答：
円管内の流速を$V$とする．

$$\begin{array}{rl}V& =\frac{Q}{\frac{\pi D^2}{4}}\\ & =\frac{4Q}{\pi D^2}\end{array}$$

(1)
ピトー管のよどみ点圧力を$p_0$，静圧を$p$とすると，ベルヌーイの定理より：

$$p_0-p=\frac{1}{2}\rho V^2$$

マノメータの圧力釣り合いより：

$$p_0-p=({\rho }_m-\rho )gh$$

両式から：

$$\frac{1}{2}\rho {\left(\frac{4Q}{\pi D^2}\right)}^2=({\rho }_m-\rho )gh$$ $$\boxed{h=\frac{8\rho Q^2}{{\pi }^2{D}^{4}g({\rho }_m-\rho )}}$$

(2)
レイノルズ数$Re$の定義より：

$$\begin{array}{rl}Re& =\frac{\rho VD}{\mu }\\ & =\frac{\rho \left(\frac{4Q}{\pi D^2}\right)D}{\mu }\end{array}$$ $$\boxed{Re=\frac{4\rho Q}{\pi \mu D}}$$

(3)
摩擦による損失がないため，衝突前後の流速の大きさは等しく$V$である．
検査体積について水平方向の運動量収支を考えると，水が受ける力を$R_x$として：

$$\begin{array}{rl}{R}_x& =\rho Q(V\cos \theta )-\rho QV\\ & =-\rho QV(1-\cos \theta )\end{array}$$

物体が水から受ける力$F$はその反作用であるから：

$$F=-R_x=\rho QV(1-\cos \theta )$$

$V=\frac{4Q}{\pi D^2}$を代入して：

$$\boxed{F=\frac{4\rho Q^2}{\pi D^2}(1-\cos \theta )}$$

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补充：
本题主要考察流体力学中的皮托管测速原理、雷诺数计算以及控制体的动量定理应用。在第一问中，首先通过流量和管径计算出管内的平均流速。皮托管测量的是流体的总压，而管壁上的开孔测量的是静压，由伯努利方程可知两者的压差即为动压。结合U型管压力计的静力学平衡方程，压差又等于水银柱的等效重力压降，联立即可求解出高度差。第二问直接将求得的流速代入以直径为特征长度的雷诺数定义式中化简即可。在第三问中，由于题目假设无摩擦损失且射流处于大气中，故流体撞击楔形物前后速度大小保持不变。对射流区域取控制体并在水平方向运用动量定理，流入的动量通量减去流出的动量通量在水平方向上的分量，即等于流体施加给物体的水平冲击力。