0099-2022 横国工 机械 P43

振动学 机械振动 动力学 常微分方程

上図のように、ばね定数$k$の線形ばねの一端を可動する壁に固定し、他端を質量$m$の質点Aに連結する。また、ばね定数$3k$の線形ばねの一端を質量$m$の質点Bに連結し、他端を質点Aに連結する。時間$t$における質点A、B、壁の変位を各々$x_1(t)$、$x_2(t)$、$d(t)$とし、$x_1(0)=x_2(0)=d(0)=0$の時、2つの線形ばねは自然長であるとする。床面と質点A、Bの間の摩擦力は無視できるものとし、壁と質点A、Bは水平方向に一直線上で変位するものとする。壁を$d(t)=L\sin (\omega t)$で振動させるものとし、$L>0,\omega >0$とする。次の問に答えよ。

(1) 質点A、Bの運動方程式を、$k$、$m$、$x_1(t)$、$x_2(t)$、$L$、$\omega$、$t$を用いて表せ。
以下の問では$x_1(t)$、$x_2(t)$の定常解（特殊解）を$x_{s1}(t)$、$x_{s2}(t)$とする。
(2) 2つの固有角振動数${\omega }_1$、${\omega }_2$を$k$、$m$を用いて表せ。ただし、${\omega }_1<{\omega }_2$とする。
(3) $x_{s1}(t)$、$x_{s2}(t)$を$k$、$m$、$L$、$\omega$、$t$を用いて表せ。
(4) $x_{s1}(t)=0$となる$\omega$を${\omega }_3$とする。${\omega }_3$を$k$、$m$を用いて表せ。また$x_{s1}(t)=0$となる場合の$x_{s2}(t)$を$d(t)$を用いて表せ。${\omega }_3$はどのような力学系の固有角振動数に相当するかを上図の力学系に関連付けて説明せよ。

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解答：
(1)
ニュートンの運動方程式より：

$$\boxed{m{\ddot{x}}_1(t)=-k(x_1(t)-L\sin (\omega t))+3k(x_2(t)-x_1(t))m{\ddot{x}}_2(t)=-3k(x_2(t)-x_1(t))}$$

(2)
自由振動の運動方程式において、$x_1=X_1{e}^{i{\omega }_{n}t},x_2=X_2{e}^{i{\omega }_{n}t}$ とおく。
特性方程式：

$$\left|\begin{array}{cc}4k-m{\omega }_n^2& -3k\\ -3k& 3k-m{\omega }_n^2\end{array}\right|=0$$ $$m^2{\omega }_n^4-7km{\omega }_n^2+3k^2=0$$ $${\omega }_n^2=\frac{7\pm \sqrt{37}}{2}\frac{k}{m}$$

${\omega }_1<{\omega }_2$ より：

$$\boxed{{\omega }_1=\sqrt{\frac{7-\sqrt{37}}{2}\frac{k}{m}},{\omega }_2=\sqrt{\frac{7+\sqrt{37}}{2}\frac{k}{m}}}$$

(3)
$x_{s1}(t)=X_1\sin (\omega t),x_{s2}(t)=X_2\sin (\omega t)$ とおき、(1)に代入：

$$(4k-m{\omega }^2)X_1-3k{X}_2=kL$$ $$-3k{X}_1+(3k-m{\omega }^2)X_2=0$$

これを解いて：

$$\begin{array}{rl}{X}_1& =\frac{k(3k-m{\omega }^2)L}{m^2{\omega }^4-7km{\omega }^2+3k^2}{X}_2\\ & =\frac{3k^{2}L}{m^2{\omega }^4-7km{\omega }^2+3k^2}\end{array}$$ $$\boxed{x_{s1}(t)=\frac{k(3k-m{\omega }^2)L}{m^2{\omega }^4-7km{\omega }^2+3k^2}\sin (\omega t)x_{s2}(t)=\frac{3k^{2}L}{m^2{\omega }^4-7km{\omega }^2+3k^2}\sin (\omega t)}$$

(4)
$x_{s1}(t)=0$ すなわち $X_1=0$ より：

$$\begin{array}{rlrlr}3k-m{\omega }_3^2& =0& & & \\ ⟹\boxed{{\omega }_3=\sqrt{\frac{3k}{m}}}& & & & \end{array}$$

$\omega ={\omega }_3$ のとき、$m^2{\omega }_3^4-7km{\omega }_3^2+3k^2=-9k^2$ であるから：

$$\begin{array}{rlrlr}{X}_2& =\frac{3k^{2}L}{-9k^2}=-\frac{1}{3}L& & & \\ ⟹\boxed{x_{s2}(t)=-\frac{1}{3}d(t)}& & & & \end{array}$$

説明：

${\omega }_3$は、質点Aを固定した状態における、ばね$3k$と質点Bからなる部分系（動吸振器）の固有角振動数に相当する。

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补充：
本题考察多自由度系统的强迫振动和动力吸振器原理。首先根据牛顿第二定律对两个质点分别进行受力分析，考虑墙壁位移作为激振源，列出耦合的二阶常微分方程组即系统的运动方程。对于无阻尼自由振动求解固有频率时，假设简谐振动解并令激振力为零，由系数矩阵行列式为零的条件求出系统的特征方程，解出特征根即为两个固有角频率。对于稳态强迫振动，由于激振力为正弦函数，假设系统的稳态响应也是同频率的正弦函数，代入运动方程中转化为代数方程组，利用克莱姆法则或代入消元法即可求解出两质点的振幅表达式。最后探讨质点A振幅为零的特定频率条件，此时激振频率刚好等于由质点B和弹簧3k组成的局部子系统的固有频率，这就是动力吸振器的工作原理，即附加系统发生共振并产生与激振力等大反向的作用力，使得主系统保持静止状态。