0098-2022 横国工 机械 P42

材料力学 结构力学 超静定结构 卡氏定理

図に示す同じ断面を有するはりABC（$\angle \text{ABC}=90^{\circ }$）が点Cにおいて固定支持され、点Aにおいて水平方向に単純支持されている。点Bに鉛直方向の集中力$P$が図の矢印の向きに作用するとき、点Aに生じる支持反力と点Bに生じる鉛直方向の変位を求めよ。
ただし、はりABCの縦弾性係数（ヤング率）、断面2次モーメントをそれぞれ$E$、$I_z$とする。なお、荷重$P$によって発生する軸変形（引張あるいは圧縮荷重による変形）は無視できる。

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解答：
点Aの水平支持反力を $R_A$ (右向きを正) とする．
Aを原点とするAB間の座標を $y\in [0,l]$，Bを原点とするBC間の座標を $x\in [0,l]$ とする．
各区間の曲げモーメントは：

$$M_{AB}(y)=R_{A}y$$ $$M_{BC}(x)=Px-R_{A}l$$

はり全体の曲げひずみエネルギー $U$ は：

$$U={\int }_0^l\frac{M_{AB}^2}{2E{I}_z}dy+{\int }_0^l\frac{M_{BC}^2}{2E{I}_z}dx$$

点Aでの水平変位は $0$ であるから，カスチリアノの定理より：

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial U}{\partial R_A}& =\frac{1}{E{I}_z}{\int }_0^l{M}_{AB}\frac{\partial M_{AB}}{\partial R_A}dy+\frac{1}{E{I}_z}{\int }_0^l{M}_{BC}\frac{\partial M_{BC}}{\partial R_A}dx\\ & =0\end{array}$$ $${\int }_0^l(R_{A}y)\cdot ydy+{\int }_0^l(Px-R_{A}l)\cdot (-l)dx=0$$ $$\begin{array}{rl}\frac{R_A{l}^3}{3}-\frac{P{l}^3}{2}+R_A{l}^3& =0\\ ⟹\frac{4}{3}{R}_A{l}^3& =\frac{1}{2}P{l}^3\\ ⟹R_A& =\frac{3}{8}P\end{array}$$

これより，各モーメントは荷重 $P$ のみを用いて次のように表される．

$$\begin{array}{rl}{M}_{AB}(y)& =\frac{3}{8}Py\frac{\partial M_{AB}}{\partial P}\\ & =\frac{3}{8}y\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{M}_{BC}(x)& =Px-\frac{3}{8}Pl\frac{\partial M_{BC}}{\partial P}\\ & =x-\frac{3}{8}l\end{array}$$

点Bにおける鉛直方向の変位 ${\delta }_B$ は，再びカスチリアノの定理より：

$$\begin{array}{rl}{\delta }_B& =\frac{\partial U}{\partial P}\\ & =\frac{1}{E{I}_z}\left({\int }_0^l{M}_{AB}\frac{\partial M_{AB}}{\partial P}dy+{\int }_0^l{M}_{BC}\frac{\partial M_{BC}}{\partial P}dx\right)\end{array}$$ $${\delta }_B=\frac{1}{E{I}_z}\left({\int }_0^l\frac{9}{64}P{y}^{2}dy+{\int }_0^{l}P{\left(x-\frac{3}{8}l\right)}^{2}dx\right)$$ $${\delta }_B=\frac{P}{E{I}_z}{\left[\frac{3}{64}{y}^3\right]}_0^l+\frac{P}{E{I}_z}{\int }_0^l\left(x^2-\frac{3}{4}lx+\frac{9}{64}{l}^2\right)dx$$ $$\begin{array}{rl}{\delta }_B& =\frac{P{l}^3}{E{I}_z}\left(\frac{3}{64}+\frac{1}{3}-\frac{3}{8}+\frac{9}{64}\right)\\ & =\frac{P{l}^3}{E{I}_z}\left(\frac{12}{64}+\frac{1}{3}-\frac{3}{8}\right)\\ & =\frac{P{l}^3}{E{I}_z}\left(\frac{3}{16}-\frac{6}{16}+\frac{1}{3}\right)\\ & =\frac{7P{l}^3}{48E{I}_z}\end{array}$$ $$\begin{array}{r}\boxed{\begin{array}{rlr}& \text{点Aの支持反力}:\frac{3}{8}P(\text{右向き})& \text{点Bの鉛直変位}:\frac{7P{l}^3}{48E{I}_z}(\text{下向き})\end{array}}\end{array}$$

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补充：
本题考察超静定结构中未知支座反力及特定点位移的求解。结构在A点有一个多余的水平约束，属于一次超静定刚架。利用卡氏第二定理，通过A点水平位移为零的变形协调条件，将系统总应变能对A点未知水平反力求偏导并令其等于零，即可解得该反力的大小和方向。随后将求得的反力代回结构的弯矩方程中，此时弯矩函数仅含有外载荷参数P，再次利用卡氏第二定理，将总应变能对集中载荷P求偏导，即可直接得到B点沿载荷作用方向的位移。计算连续梁各段的应变能积分时，合理设定各段的局部坐标系能够有效简化计算过程。