0097-2022 横国工 机械 P40

力学 热力学 理想气体 热力学循环

下図は理想気体による熱力学的サイクルの$P-V$線図であり、四つの可逆変化で構成されている。

状態1 $\to$ 状態2 等温膨張
状態2 $\to$ 状態3 ポリトロープ変化（膨張）
状態3 $\to$ 状態4 等温圧縮
状態4 $\to$ 状態1 ポリトロープ変化（圧縮）

作動ガスの各状態の圧力$P[\text{Pa}]$、体積$V[{\text{m}}^3]$、温度$T[\text{K}]$は次の通りである。
状態1：$P_1,V_1,T_1$
状態2：$P_2,V_2,T_2$
状態3：$P_3,V_3,T_3$
状態4：$P_4,V_4,T_4$

ここで、作動ガスの質量は$m[\text{kg}]$、気体定数は$R[\text{J}/(\text{kg}\cdot \text{K})]$、比熱比は$\kappa$であり、定容比熱$c_v[\text{J}/(\text{kg}\cdot \text{K})]$は温度に依らず一定とする。また、二つのポリトロープ変化のポリトロープ指数はどちらも$n$とする。以下の問いに答えなさい。

(i) 状態1から状態2への等温膨張において、理想気体が外部から受け取った熱エネルギー$Q_{12}[\text{J}]$を与える正しい式を次の(a)〜(e)から一つ選びなさい。
(a) $\frac{c_v}{R}(P_2{V}_2-P_1{V}_1)$　(b) $\frac{1}{n-1}(P_2{V}_2-P_1{V}_1)$　(c) $mR{T}_1\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$
(d) $m{P}_1{V}_1\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$　(e) $\frac{P_1{V}_1}{1-\kappa }\ln \left(\frac{V_1}{V_2}\right)$

(ii) 状態2から状態3へのポリトロープ変化（膨張）において、理想気体が外部に行った膨張仕事$W_{23}[\text{J}]$を$T_2$、$T_3$、$m$、$c_v$、$\kappa$および$n$から必要なものを用いて表しなさい。

(iii) 上記(ii)の状態変化において、理想気体が外部から受け取った熱エネルギー$Q_{23}[\text{J}]$を$T_2$、$T_3$、$m$、$c_v$、$\kappa$および$n$から必要なものを用いて表しなさい。

(iv) 状態4から状態1へのポリトロープ変化（圧縮）において、理想気体が外部から受け取った熱エネルギーを$Q_{41}[\text{J}]$とする。$Q_{23}$と$Q_{41}$の関係を示しなさい。

(v) 状態3から状態4への等温圧縮において、理想気体が外部から受け取った熱エネルギーを$Q_{34}[\text{J}]$とする。この熱力学サイクルの熱効率が$1+Q_{34}/Q_{12}$で定義されるとき、この熱効率を$T_1$、$T_3$、$m$、$c_v$、$\kappa$および$n$から必要なものを用いて表しなさい。

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解答：
(i)
等温変化より $\Delta U=0$：

$$\begin{array}{rl}{Q}_{12}& =W_{12}\\ & ={\int }_{V_1}^{V_2}PdV\\ & ={\int }_{V_1}^{V_2}\frac{mR{T}_1}{V}dV\\ & =mR{T}_1\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)\end{array}$$ $$\boxed{(c)}$$

(ii)
ポリトロープ仕事の式より：

$$\begin{array}{rl}{W}_{23}& ={\int }_{V_2}^{V_3}PdV\\ & =\frac{P_2{V}_2-P_3{V}_3}{n-1}\\ & =\frac{mR(T_2-T_3)}{n-1}\end{array}$$

マイヤーの関係式 $R=c_p-c_v=(\kappa -1)c_v$ を代入し：

$$\boxed{W_{23}=\frac{m(\kappa -1)c_v(T_2-T_3)}{n-1}}$$

(iii)
熱力学第一法則より $Q_{23}=\Delta U_{23}+W_{23}$：

$$Q_{23}=m{c}_v(T_3-T_2)+\frac{m(\kappa -1)c_v(T_2-T_3)}{n-1}$$ $$\begin{array}{rl}{Q}_{23}& =m{c}_v(T_3-T_2)\left(1-\frac{\kappa -1}{n-1}\right)\\ & =m{c}_v\frac{n-\kappa }{n-1}(T_3-T_2)\end{array}$$ $$\boxed{Q_{23}=m{c}_v\frac{n-\kappa }{n-1}(T_3-T_2)}$$

(iv)
(iii)と同様に、過程4 $\to$ 1の熱量 $Q_{41}$ は：

$$Q_{41}=m{c}_v\frac{n-\kappa }{n-1}(T_1-T_4)$$

等温過程1 $\to$ 2、3 $\to$ 4より $T_1=T_2$、$T_4=T_3$ であるから：

$$\begin{array}{rl}{Q}_{41}& =m{c}_v\frac{n-\kappa }{n-1}(T_2-T_3)\\ & =-m{c}_v\frac{n-\kappa }{n-1}(T_3-T_2)\\ & =-Q_{23}\end{array}$$ $$\boxed{Q_{41}=-Q_{23}}$$

(v)
状態3 $\to$ 4は等温圧縮であるため：

$$Q_{34}=mR{T}_3\ln \left(\frac{V_4}{V_3}\right)$$

ポリトロープ過程について $T{V}^{n-1}=\text{const.}$ より：

$$\begin{array}{rl}{T}_2{V}_2^{n-1}& =T_3{V}_3^{n-1}\\ ⟹{\left(\frac{V_3}{V_2}\right)}^{n-1}& =\frac{T_2}{T_3}=\frac{T_1}{T_3}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{T}_1{V}_1^{n-1}& =T_4{V}_4^{n-1}\\ ⟹{\left(\frac{V_4}{V_1}\right)}^{n-1}& =\frac{T_1}{T_4}=\frac{T_1}{T_3}\end{array}$$

これより $\frac{V_3}{V_2}=\frac{V_4}{V_1}$ すなわち $\frac{V_4}{V_3}=\frac{V_1}{V_2}$ となる。

$$\begin{array}{rl}{Q}_{34}& =mR{T}_3\ln \left(\frac{V_1}{V_2}\right)\\ & =-mR{T}_3\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)\end{array}$$

熱効率の定義より：

$$\begin{array}{rl}1+\frac{Q_{34}}{Q_{12}}& =1+\frac{-mR{T}_3\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)}{mR{T}_1\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)}\\ & =1-\frac{T_3}{T_1}\end{array}$$ $$\boxed{1-\frac{T_3}{T_1}}$$

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补充：
本题考察理想气体的热力学循环，涉及等温过程和多方过程的功与热量计算，以及循环热效率的推导。在等温过程中气体内能不变，吸收的热量全部转化为对外做功，直接利用气体做功的积分公式即可求出热量。对于多方过程，利用理想气体状态方程可以将压力和体积的乘积替换为温度，同时利用迈耶公式将通用气体常数替换为定容比热容和比热比，从而得到题目指定变量构成的表达式。在计算多方过程的热量时运用热力学第一定律，并且在分析两个多方过程热量关系时，利用等温过程带来的温度相等的条件进行代换。最后在求解热效率时，通过多方过程的温度与体积关系式推导出两个等温过程的体积比互为倒数，将对数项和常数项消去后，得出该类循环的热效率形式上与卡诺循环的热效率公式一致。