0096-2022 横国工 数学 P39

线性代数 特征值与特征向量 矩阵的幂

行列 $A$ について以下の問いに答えよ．

$$A=\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 2& -3& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right]$$

(1) $A$ の固有値と固有ベクトルを求めよ．
(2) $A^n$ ($n$ は正の整数) を求めよ．

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解答：
(1)
$A$ の特性方程式は：

$$\begin{array}{rl}|\lambda I-A|& =\left|\begin{array}{ccccccc}\lambda +1& -1& 0-2& \lambda +3& -10& -1& \lambda +1\end{array}\right|\\ & =(\lambda +1)[(\lambda +3)(\lambda +1)-1]-2(\lambda +1)\\ & =\lambda (\lambda +1)(\lambda +4)\\ & =0\end{array}$$

固有値は $\lambda =0,-1,-4$

$\lambda =0$ のとき，$(\lambda I-A)\mathbf{x}=0$ を解くと，固有ベクトルは ${\mathbf{x}}_1=c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$ ($c_1\ne 0$)
$\lambda =-1$ のとき，$(\lambda I-A)\mathbf{x}=0$ を解くと，固有ベクトルは ${\mathbf{x}}_2=c_2\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\end{array}\right]$ ($c_2\ne 0$)
$\lambda =-4$ のとき，$(\lambda I-A)\mathbf{x}=0$ を解くと，固有ベクトルは ${\mathbf{x}}_3=c_3\left[\begin{array}{c}1\\ -3\\ 1\end{array}\right]$ ($c_3\ne 0$)

$$\begin{array}{rl}\text{固有値 }\lambda & =0,\text{ 固有ベクトル }{c}_1\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\\ \text{固有値 }\lambda & =-1,\text{ 固有ベクトル }{c}_2\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\end{array}\right]\\ \text{固有値 }\lambda & =-4,\text{ 固有ベクトル }{c}_3\left[\begin{array}{c}1\\ -3\\ 1\end{array}\right](c_1,c_2,c_3\text{ は任意の0でない定数})\end{array}$$

(2)
$P=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& -3\\ 1& -2& 1\end{array}\right]$ とおくと， $P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -4\end{array}\right]$ と対角化できる．

$$P^{-1}=\frac{1}{12}\left[\begin{array}{ccc}6& 3& 3\\ 4& 0& -4\\ 2& -3& 1\end{array}\right]$$

$A^n=P\left[\begin{array}{ccc}{0}^n& 0& 0\\ 0& (-1{)}^n& 0\\ 0& 0& (-4{)}^n\end{array}\right]P^{-1}$ であり，$n$ は正の整数なので $0^n=0$．

$$\boxed{A^n=\frac{1}{12}\left[\begin{array}{ccc}4(-1{)}^n+2(-4{)}^n& -3(-4{)}^n& -4(-1{)}^n+(-4{)}^n\\ -6(-4{)}^n& 9(-4{)}^n& -3(-4{)}^n\\ -8(-1{)}^n+2(-4{)}^n& -3(-4{)}^n& 8(-1{)}^n+(-4{)}^n\end{array}\right]}$$

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补充：
这是一道经典的线性代数题目，主要考察矩阵的特征值、特征向量的求解以及矩阵对角化在求矩阵高次幂中的应用。第一问中，通过求解特征方程得到三个不同的实数特征值，然后分别代回特征方程对应的齐次线性方程组，求得基础解系即为特征向量。第二问中，利用第一问求得的三个线性无关的特征向量按列构造可逆矩阵，将原矩阵对角化。对角矩阵的幂只需对其主对角线上的元素分别求幂，再左右乘上可逆矩阵及其逆矩阵，经过几次矩阵乘法运算即可得到原矩阵的n次幂。在计算逆矩阵和连乘时需要注意符号和代数式的化简。