0095-2022 横国工 数学 P39

常微分方程 高等数学

次の微分方程式の初期値問題を解け．

$$y^{\prime \prime }+0.2y^{\prime }+4.01y=0y(0)=0y^{\prime }(0)=2$$

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解答：
特性方程式：

$${\lambda }^2+0.2\lambda +4.01=0$$ $$\begin{array}{rl}\lambda & =\frac{-0.2\pm \sqrt{0.04-16.04}}{2}\\ & =-0.1\pm 2i\end{array}$$

一般解：

$$y(t)=e^{-0.1t}(C_1\cos 2t+C_2\sin 2t)$$

$y(0)=0$ より，

$$C_1=0$$ $$y(t)=C_2{e}^{-0.1t}\sin 2t$$ $$y^{\prime }(t)=C_2(-0.1e^{-0.1t}\sin 2t+2e^{-0.1t}\cos 2t)$$

$y^{\prime }(0)=2$ より，

$$\begin{array}{rl}2C_2& =2\\ ⟹C_2& =1\end{array}$$ $$\boxed{y(t)=e^{-0.1t}\sin 2t}$$

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补充：
本题考察常系数齐次二阶线性常微分方程的解法。首先通过微分方程写出其对应的特征方程并求根，因为判别式小于零，得到的是一对共轭复根，由此可以写出由指数函数和三角函数构成的通解。随后对通解求导，并将给定的函数初值和导数初值分别代入，即可计算出通解中的两个待定常数，从而得出最终的特解。