0093-2021 横国工 机械 P25

流体力学 Navier-Stokes方程 粘性流体

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図に示す様な短軸 $2a$, 長軸 $2b$ の楕円管内の非圧縮・粘性流れについて以下の問いに答えなさい．ただし主流方向に $x$ 軸，短軸方向に $y$ 軸，長軸方向に $z$ 軸を取り，外力は作用しないと仮定する．また，流れは次に示す連続の式と Navier-Stokes 方程式に従うとする．

$$\nabla u=0$$ $$\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}& =-\frac{1}{\rho }\nabla p+\frac{\mu }{\rho }{\nabla }^{2}u,u\\ & =(u,v,w)\end{array}$$

ここに，$u=(u,v,w)$ は流速，$p$ は圧力，$\rho$ は密度，$\mu$ は粘性係数を表す．

1. 流れを定常の層流として，上記の連続の式と Navier-Stokes 方程式から $x$ 方向速度を求めるための微分方程式を得なさい．
2. $yz$ 平面において中心が原点にある短軸 $2a$, 長軸 $2b$ の楕円を表す方程式を $h(y,z)=0$ とするとき，$h(y,z)$ を求めなさい．
3. 楕円管内の速度分布を $u=\beta \cdot h(y,z)$ と仮定し，(1)の微分方程式から $\beta$ を求めなさい．また速度分布は，管壁上ですべり無しの条件を満たすことを示しなさい．
4. これまでの問題の結果を用いて楕円管内を流れる流量 $Q$ と平均流速 $u_m$ を求めなさい．
5. これまでの問題の結果を用いて管内の最大流速 $u_{max}$ と最大流速となる座標を求めなさい．
6. 管内の単位体積・単位長さあたりのエネルギ損失 $\Delta e$ が次式で与えられるとする．

$$\Delta e=\frac{1}{d_e}\lambda \frac{\rho }{2}{u}_m^2$$

ここに $d_e$ は等価直径を表す．また，$\lambda$ は摩擦損失係数で，$64/Re$ で与えられるとする．ただし，$Re$ は等価直径と平均速度を代表値とするレイノルズ数を表す．
これまでの問題の結果を用いて，楕円管の等価直径を求めなさい．

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解答：

定常層流・一方向流れより、$\frac{\partial }{\partial t}=0,v=0,w=0$。
連続の式より $\frac{\partial u}{\partial x}=0$。よって $u=u(y,z)$。
Navier-Stokes方程式の $x$ 成分より、

$$\boxed{\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=\frac{1}{\mu }\frac{dp}{dx}}$$

$$\boxed{h(y,z)=\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}-1}$$

$u=\beta \left(\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}-1\right)$ を (1) の式に代入する。

$$2\beta \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)=\frac{1}{\mu }\frac{dp}{dx}$$ $$\boxed{\beta =\frac{a^2{b}^2}{2\mu (a^2+b^2)}\frac{dp}{dx}}$$

管壁上では $\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1$ であるため、$h(y,z)=0$ となる。
したがって、管壁上での速度は $u=\beta \cdot 0=0$ となり、すべり無しの条件を満たす。(証明終)

$y=ar\cos \theta ,z=br\sin \theta$ と置換する。ヤコビアンは $abr$。
流量 $Q={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1\beta (r^2-1)abrdrd\theta =2\pi ab\beta {\left[\frac{r^4}{4}-\frac{r^2}{2}\right]}_0^1=-\frac{\pi }{2}ab\beta$

$$\boxed{Q=-\frac{\pi a^3{b}^3}{4\mu (a^2+b^2)}\frac{dp}{dx}}$$

断面積 $A=\pi ab$ より、$u_m=\frac{Q}{A}=-\frac{\beta }{2}$

$$\boxed{u_m=-\frac{a^2{b}^2}{4\mu (a^2+b^2)}\frac{dp}{dx}}$$

$x$ 方向へ流れるため $\frac{dp}{dx}<0$ であり、$\beta <0$。
$u=\beta \left(\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}-1\right)$ が最大となるのは $\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=0$ のとき。

$$\boxed{\text{座標}:(y,z)=(0,0),u_{max}=-\frac{a^2{b}^2}{2\mu (a^2+b^2)}\frac{dp}{dx}}$$

単位体積・単位長さあたりのエネルギ損失は圧力勾配に等しいので $\Delta e=-\frac{dp}{dx}$。
$Re=\frac{\rho u_m{d}_e}{\mu }$ と $\lambda =\frac{64}{Re}$ を与式に代入する。

$$\begin{array}{rl}-\frac{dp}{dx}& =\frac{1}{d_e}\left(\frac{64\mu }{\rho u_m{d}_e}\right)\frac{\rho }{2}{u}_m^2\\ & =\frac{32\mu u_m}{d_e^2}\end{array}$$

(4) より $-\frac{dp}{dx}=\frac{4\mu (a^2+b^2)}{a^2{b}^2}{u}_m$ であるから、両者を比較して

$$\begin{array}{rl}\frac{32}{d_e^2}& =\frac{4(a^2+b^2)}{a^2{b}^2}\\ \Rightarrow d_e^2& =\frac{8a^2{b}^2}{a^2+b^2}\end{array}$$ $$\boxed{d_e=\frac{2\sqrt{2}ab}{\sqrt{a^2+b^2}}}$$

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这道题考察的是流体力学中经典的不可压缩粘性流体在椭圆截面直管内的定常层流问题（泊肃叶流动在椭圆形截面下的推广）。

解答第一问时，核心在于利用流动特征化简连续性方程和Navier-Stokes方程。因为是定常流动，时间导数项为零；由于充分发展且仅沿x方向流动，y和z方向的速度分量均为零，对流项也随之抵消，最终只保留了压力梯度力和粘性剪切力的平衡。

对于速度分布的构造，利用了椭圆的边界几何特性。由于流体满足管壁处的无滑移边界条件，直接将椭圆方程作为速度分布形式的核心部分是一个非常巧妙的解析解法。将其代入化简后的偏微分方程后，可以直接确定待定系数，并且自发满足边界条件。

求解流量时使用了极坐标变换的拓展思路，将y和z用带有a和b缩放系数的极坐标表示，雅可比行列式的引入大大简化了截面积分过程。最后关于等效直径的推导，本质上是结合了达西-韦斯巴赫（Darcy-Weisbach）公式和圆管层流沿程阻力系数公式，将椭圆管的水力特性映射到当量圆管上，通过能量损失（即单位长度压力降）相等这一物理条件桥接起来解出等效直径。