0092-2021 横国工 机械 P24

振动学 机械振动 常微分方程 动力学

上図のように、ばね定数$k$の線形ばねと減衰係数$c$の減衰器に連結した質量$m$の質点Aを水平な床面に置く。線形ばねと減衰器の他端は可動する壁に固定されている。時間$t$における質点A、壁の変位を各々$x(t)$、$d(t)$とし、$x(0)=d(0)=0$の時、線形ばねが自然長であるとする。また、床面と質点Aの間の摩擦力は無視できるものとし、壁と質点Aは水平方向にのみ変位するものとする。次の問に答えよ。

(1) 質点Aの運動方程式を、$k$、$c$、$m$、$x(t)$、$d(t)$を用いて表せ。
以下の問(2)、(3)、(4)では、${\omega }_n=\sqrt{\frac{k}{m}}$、$\zeta =\frac{c}{2\sqrt{mk}}$、$0<\zeta <1$とし、$L$、$\omega$は正の定数とする。
(2) 質点Aの運動方程式を、${\omega }_n$、$\zeta$、$x(t)$、$d(t)$を用いて表せ。
(3) 壁を$d=0$で固定させた状態で、質点Aを$x(0)=L$の位置から静かに放したとき、$x(t)$を$\zeta$、${\omega }_n$、$L$、$t$を用いて求めよ。
(4) 壁を$d(t)=L\sin (\omega t)$で振動させたときの質点Aの変位$x(t)$の定常解（特殊解）を$\zeta$、${\omega }_n$、$\omega$、$L$、$t$を用いて求めよ。

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解答：

(1)
ニュートンの運動方程式より、質点Aに働く復元力と減衰力は相対変位および相対速度に依存するため、

$$m\ddot{x}(t)=-k(x(t)-d(t))-c(\dot{x}(t)-\dot{d}(t))$$

整理して、

$$\boxed{m\ddot{x}(t)+c\dot{x}(t)+kx(t)=c\dot{d}(t)+kd(t)}$$

(2)
(1)の両辺を$m$で割り、${\omega }_n^2=\frac{k}{m}$、$\frac{c}{m}=\frac{c}{2\sqrt{mk}}\cdot 2\sqrt{\frac{k}{m}}=2\zeta {\omega }_n$ を代入すると、

$$\boxed{\ddot{x}(t)+2\zeta {\omega }_n\dot{x}(t)+{\omega }_n^{2}x(t)=2\zeta {\omega }_n\dot{d}(t)+{\omega }_n^{2}d(t)}$$

(3)
$d(t)=0$ のとき、方程式は $\ddot{x}(t)+2\zeta {\omega }_n\dot{x}(t)+{\omega }_n^{2}x(t)=0$ となる。
$0<\zeta <1$ より、特性方程式の根は $\lambda =-\zeta {\omega }_n\pm i{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$。
一般解を $x(t)=e^{-\zeta {\omega }_{n}t}(C_1\cos {\omega }_{d}t+C_2\sin {\omega }_{d}t)$ とする（ここで ${\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$）。
初期条件 $x(0)=L$, $\dot{x}(0)=0$ を適用する。

$$x(0)=C_1=L$$ $$\begin{array}{rl}\dot{x}(0)& =-\zeta {\omega }_n{C}_1+{\omega }_d{C}_2=0\\ ⟹C_2& =\frac{\zeta {\omega }_{n}L}{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}}=\frac{\zeta L}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}\end{array}$$

よって、

$$\boxed{x(t)=L{e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}\left(\cos ({\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}t)+\frac{\zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}\sin ({\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}t)\right)}$$

(4)
$d(t)=L\sin (\omega t)$ を(2)の右辺に代入すると、右辺は $f(t)=2\zeta {\omega }_{n}L\omega \cos (\omega t)+{\omega }_n^{2}L\sin (\omega t)$。
定常解を $x_p(t)=A\sin (\omega t)+B\cos (\omega t)$ とおく。これを左辺に代入し係数を比較する。
$\sin (\omega t)$ の係数： $({\omega }_n^2-{\omega }^2)A-2\zeta {\omega }_n\omega B=L{\omega }_n^2$
$\cos (\omega t)$ の係数： $2\zeta {\omega }_n\omega A+({\omega }_n^2-{\omega }^2)B=2\zeta {\omega }_n\omega L$
この連立方程式を解くと、

$$A=\frac{{\omega }_n^2({\omega }_n^2-{\omega }^2)+4{\zeta }^2{\omega }_n^2{\omega }^2}{({\omega }_n^2-{\omega }^2{)}^2+4{\zeta }^2{\omega }_n^2{\omega }^2}L$$ $$B=\frac{-2\zeta {\omega }_n{\omega }^3}{({\omega }_n^2-{\omega }^2{)}^2+4{\zeta }^2{\omega }_n^2{\omega }^2}L$$

したがって、定常解は

$$\boxed{x(t)=\frac{L}{({\omega }_n^2-{\omega }^2{)}^2+4{\zeta }^2{\omega }_n^2{\omega }^2}\left\{({\omega }_n^4-{\omega }_n^2{\omega }^2+4{\zeta }^2{\omega }_n^2{\omega }^2)\sin (\omega t)-2\zeta {\omega }_n{\omega }^3\cos (\omega t)\right\}}$$

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这道题考察的是典型的单自由度系统的受迫振动与自由振动问题。第一问主要是理清相对位移和相对速度的概念，因为墙和质点都在运动，所以弹簧的形变量和阻尼器的相对速度分别是两者位移和速度的差值，建立牛顿第二定律方程时需要注意符号。第二问只需利用自然频率和阻尼比的常规定义进行代换即可，这是控制工程和振动力学中的标准操作，目的在于将系统参数无量纲化、通用化。第三问是典型的欠阻尼系统自由振动求解，通过特征方程求出共轭复数根，写出带指数衰减的正余弦通解，再结合初始位移为L和初始速度为零（静止释放）的条件即可定出积分常数。第四问求系统在简谐激振下的稳态响应（即特解），最直接的方法是使用待定系数法。需要特别注意的是，由于激振源（墙壁）的位移同时通过弹簧和阻尼器传递力，导致等式右侧的激振力同时包含了正弦项和余弦项。设特解为正弦与余弦的线性组合后，将其一阶、二阶导数代入原方程并对比等式两边的系数，解一个二元一次方程组即可得到确切的解析解。