0090-2021 横国工 机械 P20

力学 工程热力学 布雷顿循环

ブレイトンサイクルは、高温の排気ガスを吸気の加熱に利用することで熱効率の向上を図ることができる。いま、図に示すように、熱交換器により排気と吸気の熱交換を行う再生ブレイトンサイクルを考える。なお、熱交換は等圧で行われ、熱交換器における排気ガスからの受熱量と吸気ガスの加熱量は等しく、作動流体は熱量的完全気体として扱えるものとする。

(1) 熱交換器の温度効率を

$${\eta }_R=\frac{T_5-T_2}{T_4-T_2}$$

で定義すると、各状態の温度$T_1\sim T_4$を用いて、この再生ブレイトンサイクルの熱効率${\eta }_{th}$が次式となることを示せ。

$${\eta }_{th}=\frac{(T_3-T_4)-(T_2-T_1)}{(T_3-T_2)-{\eta }_R(T_4-T_2)}$$

(2) ${\eta }_R=1$すなわち$T_4=T_5$という理想的な熱交換が行われるとき、この再生ブレイトンサイクルの$T-S$線図を描け。なお$T-S$線図上には$1\sim 6$の状態点をプロットすること。
(3) 上記(2)の場合の${\eta }_{th}$を、比熱比$\kappa$、圧力比$r(=P_2/P_1=P_3/P_4)$、温度比$\tau (=T_3/T_1)$を用いて表せ。

---

解答：
(1)
圧縮機仕事: $W_C=C_p(T_2-T_1)$
タービン仕事: $W_T=C_p(T_3-T_4)$
正味の仕事: $W_{net}=W_T-W_C=C_p(T_3-T_4)-C_p(T_2-T_1)$
外部からの加熱量（燃焼器）: $Q_{in}=C_p(T_3-T_5)$
熱効率:

$$\begin{array}{rl}{\eta }_{th}& =\frac{W_{net}}{Q_{in}}\\ & =\frac{(T_3-T_4)-(T_2-T_1)}{T_3-T_5}\end{array}$$

温度効率の定義より、 $T_5=T_2+{\eta }_R(T_4-T_2)$。これを代入すると、

$$\begin{array}{rl}{\eta }_{th}& =\frac{(T_3-T_4)-(T_2-T_1)}{T_3-\{T_2+{\eta }_R(T_4-T_2)\}}\\ & =\frac{(T_3-T_4)-(T_2-T_1)}{(T_3-T_2)-{\eta }_R(T_4-T_2)}\end{array}$$

(証明終)

(2)

$$\begin{array}{rl}{\eta }_R& =1\\ ⟹T_4& =T_5\end{array}$$

熱交換器のエネルギー収支より、$C_p(T_5-T_2)=C_p(T_4-T_6)⟹T_6=T_2$
$T-S$平面上の状態点と過程は以下の通り（図の代用表現）：

・$1(S_1,T_1)\to 2(S_1,T_2)$: 鉛直上向きの等エントロピー線
・$2(S_1,T_2)\to 5(S_5,T_4)\to 3(S_3,T_3)$: 右上がりの等圧線（$P_2=P_3=\text{const}$）
・$3(S_3,T_3)\to 4(S_3,T_4)$: 鉛直下向きの等エントロピー線
・$4(S_3,T_4)\to 6(S_6,T_2)\to 1(S_1,T_1)$: 左下がりの等圧線（$P_1=P_4=\text{const}$）
※点4と点5は同一水平線上（$T_4=T_5$）、点2と点6は同一水平線上（$T_2=T_6$）に位置する。

(3)
${\eta }_R=1$のとき、(1)の式より、

$$\begin{array}{rl}{\eta }_{th}& =\frac{(T_3-T_4)-(T_2-T_1)}{T_3-T_4}\\ & =1-\frac{T_2-T_1}{T_3-T_4}\end{array}$$

等エントロピー過程の関係式より、

$$\begin{array}{rl}\frac{T_2}{T_1}& ={\left(\frac{P_2}{P_1}\right)}^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}=r^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}\\ ⟹T_2& =T_1{r}^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\frac{T_4}{T_3}& ={\left(\frac{P_4}{P_3}\right)}^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}=r^{-\frac{\kappa -1}{\kappa }}\\ ⟹T_4& =T_3{r}^{-\frac{\kappa -1}{\kappa }}\end{array}$$

これらを代入して整理する。

$$T_2-T_1=T_1\left(r^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}-1\right)$$ $$\begin{array}{rl}{T}_3-T_4& =T_3\left(1-r^{-\frac{\kappa -1}{\kappa }}\right)\\ & =T_3{r}^{-\frac{\kappa -1}{\kappa }}\left(r^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}-1\right)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\eta }_{th}& =1-\frac{T_1\left(r^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}-1\right)}{T_3{r}^{-\frac{\kappa -1}{\kappa }}\left(r^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}-1\right)}\\ & =1-\frac{T_1}{T_3}{r}^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}\end{array}$$

$\tau =T_3/T_1$ であるため、

$$\boxed{{\eta }_{th}=1-\frac{r^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}}{\tau }}$$

---

这道题考查了带有回热器的理想布雷顿循环的热效率计算以及状态图的分析。第一问要求根据给定的回热器温度效率推导系统整体的热效率，解题核心在于明确系统的净功等于涡轮做功与压缩机耗功之差，而系统真正的外部吸热量仅为燃烧室中的加热量，回热器内的热交换属于系统内部能量传递，不计入外部热量输入，通过代入温度效率的定义式消去燃烧室入口温度即可得证。第二问要求分析理想回热情况下的T-S图，理想回热意味着空气被加热到的最高温度等于涡轮的排气温度，同时根据热交换器两端热量平衡和定压比热容常数的假设，可以得出排气被冷却到的最低温度恰好等于压缩机的出口温度，因此在T-S图上这两对状态点会分别位于两条相同的水平等温线上。第三问利用等熵过程的温度与压力关系，将各个状态点的温度用初始温度、最高温度以及系统压比表达出来，代入第一问化简后的理想回热公式中，即可得到仅包含压比、温度比和比热比的热效率表达式，由此也能看出带有回热的布雷顿循环效率不仅取决于压比，还与系统最高和最低温度之比密切相关。