0089-2021 横国工 数学 P19

高等数学 向量分析 曲线积分

$\mathbf{A}=(x^2-yz)\mathbf{i}+(y+xz)\mathbf{j}+(1-xy{z}^2)\mathbf{k},\mathbf{r}=(x,y,z)$ とする．ここで，$\mathbf{i}=(1,0,0),\mathbf{j}=(0,1,0),\mathbf{k}=(0,0,1)$ である．始点 $(0,0,0)$ から終点 $(1,1,1)$ まで，次の3つの積分路 $C$ に沿って ${\int }_C\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}$ を計算せよ．
(a) $C:x=t,y=t^2,z=t^3(0\le t\le 1)$ でつなぐ積分路．
(b) $C:(0,0,0)\to (0,0,1)\to (0,1,1)\to (1,1,1)$ を直線でつなぐ積分路．
(c) $C:(0,0,0)\to (1,1,1)$ を直線でつなぐ積分路．

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解答：

$${\int }_C\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}={\int }_C(x^2-yz)dx+(y+xz)dy+(1-xy{z}^2)dz$$

(a)
$C:x=t,y=t^2,z=t^3(0\le t\le 1)$ より，$dx=dt,dy=2tdt,dz=3t^{2}dt$．

$$\begin{array}{rl}{\int }_C\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}& ={\int }_0^1\left[(t^2-t^5)+(t^2+t^4)2t+(1-t^9)3t^2\right]dt\\ & ={\int }_0^1(4t^2+2t^3+t^5-3t^{11})dt\\ & ={\left[\frac{4}{3}{t}^3+\frac{1}{2}{t}^4+\frac{1}{6}{t}^6-\frac{1}{4}{t}^{12}\right]}_0^1\\ & =\frac{4}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}\end{array}$$ $$\boxed{{\int }_C\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}=\frac{7}{4}}$$

(b)
$C_1:(0,0,0)\to (0,0,1)$ では $x=0,y=0,z=t(0\le t\le 1),dx=dy=0,dz=dt$．

$$\begin{array}{rl}{\int }_{C_1}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}& ={\int }_0^1(1-0)dt\\ & =1\end{array}$$

$C_2:(0,0,1)\to (0,1,1)$ では $x=0,y=t,z=1(0\le t\le 1),dx=dz=0,dy=dt$．

$$\begin{array}{rl}{\int }_{C_2}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}& ={\int }_0^{1}tdt\\ & =\frac{1}{2}\end{array}$$

$C_3:(0,1,1)\to (1,1,1)$ では $x=t,y=1,z=1(0\le t\le 1),dy=dz=0,dx=dt$．

$$\begin{array}{rl}{\int }_{C_3}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}& ={\int }_0^1(t^2-1)dt\\ & =\frac{1}{3}-1\\ & =-\frac{2}{3}\end{array}$$ $${\int }_C\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}=1+\frac{1}{2}-\frac{2}{3}$$ $$\boxed{{\int }_C\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}=\frac{5}{6}}$$

(c)
$C:x=t,y=t,z=t(0\le t\le 1)$ より，$dx=dy=dz=dt$．

$$\begin{array}{rl}{\int }_C\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}& ={\int }_0^1\left[(t^2-t^2)+(t+t^2)+(1-t^4)\right]dt\\ & ={\int }_0^1(1+t+t^2-t^4)dt\\ & ={\left[t+\frac{1}{2}{t}^2+\frac{1}{3}{t}^3-\frac{1}{5}{t}^5\right]}_0^1\\ & =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\end{array}$$ $$\boxed{{\int }_C\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}=\frac{49}{30}}$$

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这道题目主要考察了向量场中第二类曲线积分（也即对坐标的曲线积分或做功积分）的计算方法。解决这类问题的通用策略是将积分路径参数化，把曲线上的坐标x、y、z以及它们的微分dx、dy、dz统一用一个参数（例如题目中的t）表示出来，从而将线积分转化为该参数在指定区间上的普通定积分。对于由多段折线拼接而成的路径（如第二小问），只需利用积分的可加性，分别计算每段直线上的积分后再求和即可。在计算折线段积分时，由于某些坐标保持常数，对应的微分项为零，这使得被积函数会大幅简化。最后，由于给定的向量场不是保守场（其旋度不为零），积分结果会依赖于具体的积分路径，这也是为什么同样是从原点到(1,1,1)，三条不同路径计算出的结果各不相同的原因。