0088-2021 横国工 数学 P19

高等数学 常微分方程

次の微分方程式を与えられた初期条件の下で解け．ここで，$y^{\prime \prime }=\frac{d^{2}y}{d{x}^2},y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$である．
(a) $y^{\prime \prime }=e^{2x}+\sin 2x;y(0)=y^{\prime }(0)=0$.
(b) $y^{\prime \prime }=\frac{1}{\sqrt{y}};y(0)=1,y^{\prime }(0)=2$.

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解答：
(a)

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\int (e^{2x}+\sin 2x)dx\\ & =\frac{1}{2}{e}^{2x}-\frac{1}{2}\cos 2x+C_1\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }(0)& =0\\ ⟹\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+C_1& =0\\ ⟹C_1& =0\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}y& =\int \left(\frac{1}{2}{e}^{2x}-\frac{1}{2}\cos 2x\right)dx\\ & =\frac{1}{4}{e}^{2x}-\frac{1}{4}\sin 2x+C_2\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}y(0)& =0\\ ⟹\frac{1}{4}-0+C_2& =0\\ ⟹C_2& =-\frac{1}{4}\end{array}$$ $$\boxed{y=\frac{1}{4}{e}^{2x}-\frac{1}{4}\sin 2x-\frac{1}{4}}$$

(b)
両辺に $2y^{\prime }$ を掛ける：

$$2y^{\prime }{y}^{\prime \prime }=2y^{\prime }{y}^{-\frac{1}{2}}$$ $$\begin{array}{rl}\int 2y^{\prime }{y}^{\prime \prime }dx& =\int 2y^{-\frac{1}{2}}dy\\ ⟹(y^{\prime }{)}^2& =4\sqrt{y}+C_1\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}y(0)& =1y^{\prime }(0)=2\\ ⟹2^2& =4\sqrt{1}+C_1\\ ⟹C_1& =0\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}(y^{\prime }{)}^2& =4\sqrt{y}\\ ⟹y^{\prime }& =2y^{\frac{1}{4}}(\because y^{\prime }(0)=2>0)\end{array}$$ $$y^{-\frac{1}{4}}dy=2dx$$ $$\begin{array}{rl}\int y^{-\frac{1}{4}}dy& =\int 2dx\\ ⟹\frac{4}{3}{y}^{\frac{3}{4}}& =2x+C_2\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}y(0)& =1\\ ⟹\frac{4}{3}& =C_2\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\frac{4}{3}{y}^{\frac{3}{4}}& =2x+\frac{4}{3}\\ ⟹y^{\frac{3}{4}}& =\frac{3}{2}x+1\end{array}$$ $$\boxed{y={\left(\frac{3}{2}x+1\right)}^{\frac{4}{3}}}$$

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这两道题考察了不同类型的二阶常微分方程的解法。第一小题的方程右侧仅含有自变量x，属于最简单的可降阶情形，只需要对x进行两次连续积分，并在每次积分后代入初始条件确定常数即可得出特解。第二小题的方程中缺失了自变量x，属于典型的需要凑微分进行降阶的类型。处理这种方程的标准技巧是在等式两边同时乘以二倍的y撇，这样等式左边就可以化为y撇平方的导数，进而通过对y积分将二阶方程降为一阶分离变量方程。在求解第一阶导数时，需要特别注意根据给定的初始条件y’(0)=2大于0来舍去负的平方根，确保符号的正确性。最后再进行一次变量分离和积分，代入初始条件计算出常数，即可得到最终的解析式。